§7.prop.3τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
서로 소가 아닌 세 개의 주어진 수에 대하여, 그것들의 최대공약수를 구하는 것.
ἔστωσαν οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ α, Β, Γ·
주어진 서로 소가 아닌 세 개의 수를 A, B, Γ라 하자.
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
그렇다면 A, B, Γ의 최대공약수를 구해야 한다.
εἰλήφθω γὰρ δύο τῶν Α, Β τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ·
두 수 A, B의 최대공약수를 Δ라 하자.
ὁ δὴ Δ τὸν Γ ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ.
그렇다면 Δ는 Γ를 측정하거나 측정하지 못하거나 둘 중 하나이다.
μετρείτω πρότερον·
먼저 그것을 측정한다고 하자.
μετρεῖ δὲ καὶ τοὺς Α, Β·
그런데 그것은 A, B도 측정한다.
ὁ Δ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ·
그러므로 Δ는 A, B, Γ를 측정한다.
ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
그러므로 Δ는 A, B, Γ의 공약수이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
나는 그것이 가장 크다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Δ τῶν Α, Β, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Δ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε. ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β ἄρα μετρήσει·
왜냐하면 만약 Δ가 A, B, Γ의 최대공약수가 아니라면, Δ보다 더 큰 어떤 수가 A, B, Γ라는 수를 측정할 것이다. 그것을 측정한다고 하고 그것을 E라 하자. 그렇다면 E가 A, B, Γ를 측정하므로, 따라서 A, B도 측정할 것이다.
καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
그러므로 A, B의 최대공약수도 측정할 것이다.
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ·
그런데 A, B의 최대공약수는 Δ이다.
ὁ Ε ἄρα τὸν Δ μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
그러므로 E는 Δ를 측정하게 되는데, 이는 더 큰 수가 더 작은 수를 측정하는 것이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Δ·
그러므로 Δ보다 더 큰 어떤 수도 A, B, Γ라는 수를 측정하지 못할 것이다.
ὁ Δ ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον.
그러므로 Δ는 A, B, Γ의 최대공약수이다.
μὴ μετρείτω δὴ ὁ Δ τὸν Γ·
이제 Δ가 Γ를 측정하지 못한다고 하자.
λέγω πρῶτον, ὅτι οἱ Γ, Δ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
나는 먼저 Γ, Δ가 서로 소가 아니라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ οἱ Α, Β, Γ οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
왜냐하면 A, B, Γ가 서로 소가 아니므로, 어떤 수가 그것들을 측정할 것이기 때문이다.
ὁ δὴ τοὺς Α, Β, Γ μετρῶν καὶ τοὺς Α, Β μετρήσει, καὶ τὸ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸν Δ μετρήσει·
그리고 A, B, Γ를 측정하는 수는 A, B도 측정할 것이며, A, B의 최대공약수인 Δ도 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ·
그런데 그것은 Γ도 측정한다.
τοὺς Δ, Γ ἄρα ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει·
그러므로 어떤 수가 Δ, Γ라는 수를 측정할 것이다.
οἱ Δ, Γ ἄρα οὔκ εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους.
그러므로 Δ, Γ는 서로 소가 아니다.
εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Ε. καὶ ἐπεὶ ὁ Ε τὸν Δ μετρεῖ, ὁ δὲ Δ τοὺς Α, Β μετρεῖ, καὶ ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β μετρεῖ·
따라서 그것들의 최대공약수를 E라 하자. 그리고 E가 Δ를 측정하고 Δ가 A, B를 측정하므로, 따라서 E도 A, B를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ·
그런데 그것은 Γ도 측정한다.
ὁ Ε ἄρα τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ·
그러므로 E는 A, B, Γ를 측정한다.
ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ κοινόν ἐστι μέτρον.
그러므로 E는 A, B, Γ의 공약수이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
나는 그것이 가장 크다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ Ε τῶν Α, Β, Γ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ Ε. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ζ. καὶ ἐπεὶ ὁ Ζ τοὺς Α, Β, Γ μετρεῖ, καὶ τοὺς Α, Β μετρεῖ·
만약 E가 A, B, Γ의 최대공약수가 아니라면, E보다 더 큰 어떤 수가 A, B, Γ라는 수를 측정할 것이다. 그것을 측정한다고 하고 그것을 Z라 하자. 그리고 Z가 A, B, Γ를 측정하므로, 그것은 A, B도 측정한다.
καὶ τὸ τῶν Α, Β ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
그러므로 A, B의 최대공약수도 측정할 것이다.
τὸ δὲ τῶν Α, Β μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Δ·
그런데 A, B의 최대공약수는 Δ이다.
ὁ Ζ ἄρα τὸν Δ μετρεῖ·
그러므로 Z는 Δ를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν Γ·
그런데 그것은 Γ도 측정한다.
ὁ Ζ ἄρα τοὺς Δ, Γ μετρεῖ·
그러므로 Z는 Δ, Γ를 측정한다.
καὶ τὸ τῶν Δ, Γ ἄρα μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει.
그러므로 Δ, Γ의 최대공약수도 측정할 것이다.
τὸ δὲ τῶν Δ, Γ μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ Ε·
그런데 Δ, Γ의 최대공약수는 E이다.
ὁ Ζ ἄρα τὸν Ε μετρεῖ ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
그러므로 Z는 E를 측정하게 되는데, 이는 더 큰 수가 더 작은 수를 측정하는 것이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς Α, Β, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ Ε·
그러므로 E보다 더 큰 어떤 수도 A, B, Γ라는 수를 측정하지 못할 것이다.
ὁ Ε ἄρα τῶν Α, Β, Γ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον·
그러므로 E는 A, B, Γ의 최대 공약수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.