§7.prop.19ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ἔσται τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου γενομένῳ ἀριθμῷ· καὶ ἐὰν ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ᾖ τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται.
如果四个数成比例，则由第一项与第四项乘得的数将等于由第二项与第三项乘得的数；并且，如果由第一项与第四项乘得的数等于第二项与第三项（乘得的数），则四个数将成比例。
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω·
设四个比例数 A、B、Γ、Δ，正如 A 对 B，Γ 也对 Δ。 且 A 乘以 Δ 得到 E，而 B 乘以 Γ 得到 Z。
λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.
ὁ γὰρ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω.
我且声称，E 等于 Z。 因为，设 A 乘以 Γ 得到 H。
ἐπεὶ οὖν ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ἀριθμὸς δὴ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Η, Ε πεποίηκεν.
既然 A 乘以 Γ 得到了 H，而乘以 Δ 得到了 E，所以数 A 乘以两个数 Γ、Δ 得到了 H、E。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β· καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν, δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Ζ πεποιήκασιν.
所以，正如 Γ 对 Δ，H 也对 E。 但是正如 Γ 对 Δ，A 也对 B；所以，正如 A 对 B，H 也对 E。 再次，既然 A 乘以 Γ 得到了 H，而事实上 B 乘以 Γ 也得到了 Z，所以两个数 A、B 乘以某个数 Γ 得到了 H、Z。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ὁ Η ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.
ἔστω δὴ πάλιν ἴσος ὁ Ε τῷ Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν δ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
所以，正如 A 对 B，H 也对 Z。 但确实，正如 A 对 B，H 也对 E；所以，正如 H 对 E，H 也对 Z。 所以 H 对 E、Z 的每一个有相同的比；所以 E 等于 Z。 今度再次设 E 等于 Z；我且声称，正如 A 对 B，Γ 也对 Δ。 因为在相同的准备下，既然 E 等于 Z，所以，正如 H 对 E，H 也对 Z。 但是正如 H 对 E，Γ 也对 Δ；而正如 H 对 Z，A 也对 B。 所以，正如 A 对 B，Γ 也对 Δ；这就是所要证明的。
§7.prop.20οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα.
在与它们具有相同比的数中，最小的数同样多次地度量与它们具有相同比的数，即较大者度量较大者，较小者度量较小者。
ἔστωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ ΓΔ, ΕΖ·
因为，设在与 A、B 具有相同比的数中，最小的数为 ΓΔ、EZ。
λέγω, ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β.
ὁ ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὔκ ἐστι μέρη.
我且声称，ΓΔ 度量 A 的次数与 EZ 度量 B 的次数相同。 因为，ΓΔ 不是 A 的部分（复数）。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· καὶ ὁ ΕΖ ἄρα τοῦ Β τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α. ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΓΔ μέρη τοῦ Α, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΕΖ μέρη τοῦ Β. διῃρήσθω ὁ μὲν ΓΔ εἰς τὰ τοῦ Α μέρη τὰ ΓΗ, ΗΔ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τὰ τοῦ Β μέρη τὰ ΕΘ, ΘΖ· ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΓΗ, ΗΔ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ ΗΔ πρὸς τὸν ΘΖ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.
如果可能，设它是；所以 EZ 也是 B 的同样的部分（复数），正如 ΓΔ 是 A 的。 所以在 ΓΔ 中有多少个 A 的部分（复数），在 EZ 中也有多少个 B 的部分（复数）。 设 ΓΔ 被分成 A 的部分（复数） ΓH、HΔ，而 EZ 被分成 B 的部分（复数） EΘ、ΘZ；那么 ΓH、HΔ 的数量将等于 EΘ、ΘZ 的数量。 而且，既然数 ΓH、HΔ 彼此相等，数 EΘ、ΘZ 也彼此相等，且 ΓH、HΔ 的数量等于 EΘ、ΘZ 的数量，所以，正如 ΓH 对 EΘ，HΔ 也对 ΘZ。 所以，正如前项之一对后项之一，所有前项也对所有后项。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΕΖ· οἱ ΓΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς ΓΔ, ΕΖ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ὑπόκεινται γὰρ οἱ ΓΔ, ΕΖ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
所以，正如 ΓH 对 EΘ，ΓΔ 也对 EZ；所以 ΓH、EΘ 与 ΓΔ、EZ 处于同一比例，且小于它们；这是不可能的，因为 ΓΔ、EZ 被假设为在与它们具有相同比的数中最小的。
οὐκ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΓΔ τοῦ Α· μέρος ἄρα.
所以，ΓΔ 不是 A 的部分（复数）；因此是部分（单数）。
καὶ ὁ ΕΖ τοῦ Β τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α· ἰσάκις ἄρα ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
而 EZ 也是 B 的同一部分（单数），正如 ΓΔ 是 A 的；所以 ΓΔ 度量 A 的次数与 EZ 度量 B 的次数相同；这就是所要证明的。