§7.prop.19ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ἔσται τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου γενομένῳ ἀριθμῷ·
もし4つの数が比例するなら、第1と第4から生じる数は、第2と第3から生じる数に等しいであろう。
καὶ ἐὰν ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ᾖ τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται.
そして、もし第1と第4から生じる数が、第2と第3に等しいなら、 4つの数は比例するであろう。
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω· λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.
ὁ γὰρ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω.
4つの比例する数を Α, Β, Γ, Δ とし、Α の Β に対する比は Γ の Δ に対する比のようであるとし、Α は Δ を掛けて Ε を作り、Β は Γ を掛けて Ζ を作るとせよ。私は、Ε は Ζ に等しいと主張する。なぜなら、Α は Γ を掛けて Η を作るとせよ。
ἐπεὶ οὖν ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ἀριθμὸς δὴ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Η, Ε πεποίηκεν.
したがって、Α は Γ を掛けて Η を作り、Δ を掛けて Ε を作ったので、したがって、数 Α は2つの数 Γ, Δ を掛けて Η, Ε を作った。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
したがって、Γ の Δ に対する比は Η の Ε に対する比のようである。 しかし、Γ の Δ に対する比は Α の Β に対する比のようであった。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν, δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Ζ πεποιήκασιν.
したがってまた、Α の Β に対する比は Η の Ε に対する比のようである。 再び、Α は Γ を掛けて Η を作ったが、また実に Β も Γ を掛けて Ζ を作ったので、したがって、2つの数 Α, Β はある数 Γ を掛けて Η, Ζ を作った。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε·
したがって、 Α の Β に対する比は Η の Ζ に対する比のようである。 しかしまた、Α の Β に対する比は Η の Ε に対する比のようでもあった。
καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ὁ Η ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
したがってまた、Η の Ε に対する比は Η の Ζ に対する比のようである。 したがって Η は、Ε, Ζ のそれぞれに対して同じ比を持つ。
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.
ἔστω δὴ πάλιν ἴσος ὁ Ε τῷ Ζ·
したがって、Ε は Ζ に等しい。 今度は再び、Ε が Ζ に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν δ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
私は、Α の Β に対する比は Γ の Δ に対する比のようであると主張する。 なぜなら、同じものが準備されると、Ε は Ζ に等しいので、したがって、Η の Ε に対する比は Η の Ζ に対する比のようである。 しかし、Η の Ε に対する比は Γ の Δ に対する比のようであり、Η の Ζ に対する比は Α の Β に対する比のようであった。 したがってまた、Α の Β に対する比は Γ の Δ に対する比のようである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.20οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα.
彼らと同じ比を持つものらのうち最小の数らは、彼らと同じ比を持つものらを、大きい方は大きい方を、小さい方は小さい方を同じ回数だけ測る。
ἔστωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ ΓΔ, ΕΖ·
なぜなら、Α, Β と同じ比を持つものらのうち最小の数らを ΓΔ, ΕΖ とせよ。
λέγω, ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β.
ὁ ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὔκ ἐστι μέρη.
私は、ΓΔ が Α を測る回数と同じ回数だけ ΕΖ も Β を測ると主張する。 なぜなら、ΓΔ は Α の部分（複数）ではない。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω·
もし可能なら、そうであるとせよ。
καὶ ὁ ΕΖ ἄρα τοῦ Β τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α. ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΓΔ μέρη τοῦ Α, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΕΖ μέρη τοῦ Β. διῃρήσθω ὁ μὲν ΓΔ εἰς τὰ τοῦ Α μέρη τὰ ΓΗ, ΗΔ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τὰ τοῦ Β μέρη τὰ ΕΘ, ΘΖ·
すると ΕΖ もまた、ΓΔ が Α の部分（複数）であるのと同じ部分（複数）を Β に対して持つ。 したがって、 ΓΔ の中にある Α の部分（複数）の数だけ、ΕΖ の中にも Β の部分（複数）がある。 ΓΔ を Α の部分（複数）である ΓΗ, ΗΔ に分割し、ΕΖ を Β の部分（複数）である ΕΘ, ΘΖ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΓΗ, ΗΔ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ ΗΔ πρὸς τὸν ΘΖ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.
すると、ΓΗ, ΗΔ の個数は ΕΘ, ΘΖ の個数に等しいであろう。 そして、数 ΓΗ, ΗΔ は互いに等しく、数 ΕΘ, ΘΖ もまた互いに等しく、かつ ΓΗ, ΗΔ の個数は ΕΘ, ΘΖ の個数に等しいので、したがって、ΓΗ の ΕΘ に対する比は ΗΔ の ΘΖ に対する比のようである。 したがってまた、前件の1つの、後件の1つに対する比は、すべての前件の、すべての後件に対する比のようである。
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΕΖ·
したがって、ΓΗ の ΕΘ に対する比は ΓΔ の ΕΖ に対する比のようである。
οἱ ΓΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς ΓΔ, ΕΖ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν·
したがって、ΓΗ, ΕΘ は ΓΔ, ΕΖ と同じ比にあり、それらより小さい。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
これは不可能である。
ὑπόκεινται γὰρ οἱ ΓΔ, ΕΖ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
なぜなら、ΓΔ, ΕΖ は、それらと同じ比を持つもののうち最小であると仮定されているからである。
οὐκ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΓΔ τοῦ Α·
したがって、ΓΔ は Α の部分（複数）ではない。
μέρος ἄρα.
したがって部分（単数）である。
καὶ ὁ ΕΖ τοῦ Β τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α·
そして、ΕΖ もまた、ΓΔ が Α の部分（単数）であるのと同じ部分（単数）を Β に対して持つ。
ἰσάκις ἄρα ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β·
したがって、ΓΔ が Α を測る回数と同じ回数だけ ΕΖ も Β を測る。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。