§7.prop.19ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ἔσται τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου γενομένῳ ἀριθμῷ·
만약 네 수가 비례한다면, 첫 번째와 네 번째 수의 곱으로 생겨난 수는 두 번째와 세 번째 수의 곱으로 생겨난 수와 같을 것이다.
καὶ ἐὰν ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ᾖ τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται.
그리고 첫 번째와 네 번째 수의 곱으로 생겨난 수가 두 번째와 세 번째 수(의 곱)와 같다면, 네 수는 비례할 것이다.
ἔστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, καὶ ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε ποιείτω, ὁ δὲ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω·
네 비례하는 수를 A, B, Γ, Δ라 하여, A가 B에 대한 비는 Γ가 Δ에 대한 비와 같다고 하고, A가 Δ를 곱하여 E를 만들고, B가 Γ를 곱하여 Z를 만든다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.
ὁ γὰρ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω.
나는 E가 Z와 같다고 주장한다. 왜냐하면 A가 Γ를 곱하여 H를 만든다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε πεποίηκεν, ἀριθμὸς δὴ ὁ Α δύο ἀριθμοὺς τοὺς Γ, Δ πολλαπλασιάσας τοὺς Η, Ε πεποίηκεν.
A가 Γ를 곱하여 H를 만들고, Δ를 곱하여 E를 만들었으므로, 따라서 수 A는 두 수 Γ, Δ를 곱하여 H, E를 만들었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε. ἀλλʼ ὡς ὁ Γ πρὸς τὸν Δ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β·
그러므로 Γ가 Δ에 대한 비는 H가 E에 대한 비와 같다. 그런데 Γ가 Δ에 대한 비는 A가 B에 대한 비와 같았다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε. πάλιν, ἐπεὶ ὁ Α τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ Β τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν, δύο δὴ ἀριθμοὶ οἱ Α, Β ἀριθμόν τινα τὸν Γ πολλαπλασιάσαντες τοὺς Η, Ζ πεποιήκασιν.
그러므로 또한 A가 B에 대한 비는 H가 E에 대한 비와 같다. 다시, A가 Γ를 곱하여 H를 만들었으나 실로 B 또한 Γ를 곱하여 Z를 만들었으므로, 따라서 두 수 A, B가 어떤 수 Γ를 곱하여 H, Z를 만들었다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ἀλλὰ μὴν καὶ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ε·
그러므로 A가 B에 대한 비는 H가 Z에 대한 비와 같다. 그런데 실로 A가 B에 대한 비는 H가 E에 대한 비와도 같았다.
καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ὁ Η ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν Ε, Ζ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον·
그러므로 또한 H가 E에 대한 비는 H가 Z에 대한 비와 같다. 그러므로 H는 E, Z 각각에 대하여 동일한 비를 가진다.
ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ.
ἔστω δὴ πάλιν ἴσος ὁ Ε τῷ Ζ·
그러므로 E는 Z와 같다. ¦30 이제 다시 E가 Z와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ Ε τῷ Ζ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Η πρὸς τὸν Ζ. ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ Η πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν δ, ὡς δὲ ὁ Η πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Β. καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ·
나는 A가 B에 대한 비는 Γ가 Δ에 대한 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 동일한 작도 하에서, E가 Z와 같으므로, 따라서 H가 E에 대한 비는 H가 Z에 대한 비와 같다. 그런데 H가 E에 대한 비는 Γ가 Δ에 대한 비와 같고, H가 Z에 대한 비는 A가 B에 대한 비와 같다. 그러므로 또한 A가 B에 대한 비는 Γ가 Δ에 대한 비와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.20οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα.
자신들과 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작은 수들은 자신들과 동일한 비를 가진 수들을, 큰 수는 큰 수를, 작은 수는 작은 수를 같은 횟수만큼 잰다.
ἔστωσαν γὰρ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α, Β οἱ ΓΔ, ΕΖ·
왜냐하면 A, B와 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작은 수들을 ΓΔ, EZ라 하자.
λέγω, ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β.
ὁ ΓΔ γὰρ τοῦ Α οὔκ ἐστι μέρη.
나는 ΓΔ가 A를 재는 횟수와 EZ가 B를 재는 횟수가 같다고 주장한다. 왜냐하면 ΓΔ는 A의 부분(복수)이 아니기 때문이다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω·
만약 가능하다면, 그렇다고 하자.
καὶ ὁ ΕΖ ἄρα τοῦ Β τὰ αὐτὰ μέρη ἐστίν, ἅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α. ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΓΔ μέρη τοῦ Α, τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΕΖ μέρη τοῦ Β. διῃρήσθω ὁ μὲν ΓΔ εἰς τὰ τοῦ Α μέρη τὰ ΓΗ, ΗΔ, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τὰ τοῦ Β μέρη τὰ ΕΘ, ΘΖ·
그러면 EZ 또한 ΓΔ가 A의 부분(복수)인 것과 동일한 부분(복수)을 B에 대하여 가진다. 그러므로 ΓΔ 안에 있는 A의 부분(복수)의 개수만큼, EZ 안에도 B의 부분(복수)이 있다. ΓΔ를 A의 부분(복수)인 ΓH, HΔ로 분할하고, EZ를 B의 부분(복수)인 EΘ, ΘZ로 분할하자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΓΗ, ΗΔ ἀριθμοὶ ἀλλήλοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ ΕΘ, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΓΗ, ΗΔ τῷ πλήθει τῶν ΕΘ, ΘΖ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ ΗΔ πρὸς τὸν ΘΖ. ἔσται ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους.
그러면 ΓH, HΔ의 개수는 EΘ, ΘZ의 개수와 같을 것이다. 그리고 수 ΓH, HΔ는 서로 같고, 수 EΘ, ΘZ 또한 서로 같으며, ΓH, HΔ의 개수는 EΘ, ΘZ의 개수와 같으므로, 따라서 ΓH가 EΘ에 대한 비는 HΔ가 ΘZ에 대한 비와 같다. 그러므로 또한 전건들 중 하나가 후건들 중 하나에 대한 비는 모든 전건들이 모든 후건들에 대한 비와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΓΗ πρὸς τὸν ΕΘ, οὕτως ὁ ΓΔ πρὸς τὸν ΕΖ·
그러므로 ΓH가 EΘ에 대한 비는 ΓΔ가 EZ에 대한 비와 같다.
οἱ ΓΗ, ΕΘ ἄρα τοῖς ΓΔ, ΕΖ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν ἐλάσσονες ὄντες αὐτῶν·
그러므로 ΓH, EΘ는 ΓΔ, EZ와 동일한 비를 가지며 그보다 작다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
이것은 불가능하다.
ὑπόκεινται γὰρ οἱ ΓΔ, ΕΖ ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
왜냐하면 ΓΔ, EZ는 자신들과 동일한 비를 가진 수들 중에서 가장 작은 수들로 가정되었기 때문이다.
οὐκ ἄρα μέρη ἐστὶν ὁ ΓΔ τοῦ Α·
¦25 그러므로 ΓΔ는 A의 부분(복수)이 아니다.
μέρος ἄρα.
그러므로 부분(단수)이다.
καὶ ὁ ΕΖ τοῦ Β τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν, ὅπερ ὁ ΓΔ τοῦ Α·
그리고 EZ 또한 ΓΔ가 A의 부분(단수)인 것과 동일한 부분(단수)을 B에 대하여 가진다.
ἰσάκις ἄρα ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν Β·
그러므로 ΓΔ가 A를 재는 횟수와 EZ가 B를 재는 횟수가 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.