§7.prop.1δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.
두 개의 서로 다른 수가 주어지고, 큰 수에서 작은 수를 계속해서 빼나갈 때, 만약 남는 수가 단위원 하나가 남을 때까지 결코 그 앞의 수를 측정하지 못한다면, 처음에 주어진 수들은 서로 소일 것이다.
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρείτω τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς·
왜냐하면 두 수 AB, ΓΔ에 대하여 큰 수에서 작은 수를 계속해서 빼나갈 때, 남는 수가 단위원 하나가 남을 때까지 결코 그 앞의 수를 측정하지 못한다고 하자.
λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τουτέστιν ὅτι τοὺς ΑΒ, ΓΔ μονὰς μόνη μετρεῖ.
나는 AB, ΓΔ가 서로 소라고, 즉 단위원만이 AB, ΓΔ를 측정한다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
만약 AB, ΓΔ가 서로 소가 아니라면, 어떤 수가 그것들을 측정할 것이다.
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε·
그것을 측정한다고 하고 그것을 E라 하자.
καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΑ, ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΗΓ, ὁ δὲ ΗΓ τὸν ΖΘ μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν ΘΑ.
ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΖ μετρεῖ καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΒΖ μετρεῖ·
그리고 ΓΔ는 BZ를 측정하고 자신보다 작은 ZA를 남기며, AZ는 ΔH를 측정하고 자신보다 작은 HΓ를 남기며, HΓ는 ZΘ를 측정하고 단위원 ΘA를 남긴다고 하자. 그렇다면 E가 ΓΔ를 측정하고 ΓΔ가 BZ를 측정하므로, 따라서 E도 BZ를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ·
그런데 그것은 전체인 BA도 측정한다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσει.
그러므로 남은 ZA도 측정할 것이다.
ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρεῖ·
그런데 AZ는 ΔH를 측정한다.
καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΔΗ μετρεῖ·
그러므로 E도 ΔH를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ·
그런데 그것은 전체인 ΔΓ도 측정한다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΗ μετρήσει.
그러므로 남은 ΓH도 측정할 것이다.
ὁ δὲ ΓΗ τὸν ΖΘ μετρεῖ·
그런데 ΓH는 ZΘ를 측정한다.
καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΖΘ μετρεῖ·
그러므로 E도 ZΘ를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ·
그런데 그것은 전체인 ZA도 측정한다.
καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει ἀριθμὸς ὤν·
그러므로 남은 단위원 AΘ도, 수이면서 측정할 것이다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς μετρήσει τις ἀριθμός·
그러므로 AB, ΓΔ라는 수를 측정할 수 있는 어떤 수도 존재하지 않을 것이다.
οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
그러므로 AB, ΓΔ는 서로 소이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.
§7.prop.2δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
서로 소가 아닌 두 개의 주어진 수에 대하여, 그것들의 최대공약수(최대공통측정도구)를 구하는 것.
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΓΔ. δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
서로 소가 아닌 두 개의 주어진 수를 AB, ΓΔ라 하자. 그렇다면 AB, ΓΔ의 최대 공약수를 구해야 한다.
εἰ μὲν οὖν ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν, ὁ ΓΔ ἄρα τῶν ΓΔ, ΑΒ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
만약 ΓΔ가 AB를 측정하고 자기 자신도 측정한다면, ΓΔ는 ΓΔ, AB의 공약수이다.
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον·
그리고 그것이 가장 크다는 것도 분명하다.
οὐδεὶς γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ μετρήσει.
왜냐하면 ΓΔ보다 더 큰 수치고 ΓΔ를 측정하는 것은 없기 때문이다.
εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ, τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος λειφθήσεταί τις ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ.
만약 ΓΔ가 AB를 측정하지 못한다면, AB, ΓΔ에서 큰 수로부터 작은 수를 계속해서 빼나갈 때, 그 앞의 수를 측정하는 어떤 수가 남을 것이다.
μονὰς μὲν γὰρ οὐ λειφθήσεται·
왜냐하면 단위원은 남지 않을 것이기 때문이다.
εἰ δὲ μή, ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
만약 그렇지 않다면 AB, ΓΔ는 서로 소가 될 것인데, 이는 가정에 어긋난다.
λειφθήσεταί τις ἄρα ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ.
그러므로 그 앞의 수를 측정하는 어떤 수가 남을 것이다.
καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΕ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΕΑ, ὁ δὲ ΕΑ τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΓ, ὁ δὲ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρείτω.
그리고 ΓΔ는 BE를 측정하고 자신보다 작은 EA를 남기며, EA는 ΔZ를 측정하고 자신보다 작은 ZΓ를 남기며, ΓZ는 AE를 측정한다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ, ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει·
그렇다면 ΓZ가 AE를 측정하고 AE가 ΔZ를 측정하므로, 따라서 ΓZ도 ΔZ를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν·
그런데 그것은 자기 자신도 측정한다.
καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΔ μετρήσει.
그러므로 전체인 ΓΔ도 측정할 것이다.
ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ·
그런데 ΓΔ는 BE를 측정한다.
καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ·
그러므로 ΓZ도 BE를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΑ·
그런데 그것은 EA도 측정한다.
καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΒΑ μετρήσει·
그러므로 전체인 BA도 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΓΔ·
그런데 그것은 ΓΔ도 측정한다.
ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ.
그러므로 ΓZ는 AB, ΓΔ를 측정한다.
ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
그러므로 ΓZ는 AB, ΓΔ의 공약수이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
나는 그것이 가장 크다고 주장한다.
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ ΓΖ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Η. καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ, καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ·
만약 ΓZ가 AB, ΓΔ의 최대공약수가 아니라면, ΓZ보다 더 큰 어떤 수가 AB, ΓΔ라는 수를 측정할 것이다. 그것을 측정한다고 하고 그것을 H라 하자. 그리고 H가 ΓΔ를 측정하고 ΓΔ가 BE를 측정하므로, 따라서 H도 BE를 측정한다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ·
그런데 그것은 전체인 BA도 측정한다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΕ μετρήσει.
그러므로 남은 AE도 측정할 것이다.
ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ·
그런데 AE는 ΔZ를 측정한다.
καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει·
그러므로 H도 ΔZ를 측정할 것이다.
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ·
그런데 그것은 전체인 ΔΓ도 측정한다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
그러므로 남은 ΓZ를, 더 큰 수가 더 작은 수를 측정하게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
그런데 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ ΓΖ·
그러므로 ΓZ보다 더 큰 어떤 수도 AB, ΓΔ라는 수를 측정하지 못할 것이다.
ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον·
그러므로 ΓZ는 AB, ΓΔ의 최대공약수이다.
. Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει·
따름정리 이로부터 분명한 것은, 만약 어떤 수가 두 수를 측정한다면, 그것은 그것들의 최대공약수도 측정할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 것이다.