§7.prop.1δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.
二つの不等な数が置かれ、常に小さい方が大きい方から引き去られるとき、もし残される数が、単位が残されるまで、決してその前の数を測りきらないならば、初めの数たちは互いに素である。
δύο γὰρ ἀριθμῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρείτω τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς·
なぜなら、二つの数 AB, ΓΔ について、常に小さい方が大きい方から引き去られるとし、残される数が、単位が残されるまで、決してその前の数を測りきらないとせよ。
λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τουτέστιν ὅτι τοὺς ΑΒ, ΓΔ μονὰς μόνη μετρεῖ.
私は、AB, ΓΔ は互いに素である、すなわち AB, ΓΔ を単位だけが測る、と主張する。
εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός.
なぜなら、もし AB, ΓΔ が互いに素でないならば、ある数がそれらを測るであろう。
μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε·
それを測るものとし、それを E とせよ。
καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΑ, ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΗΓ, ὁ δὲ ΗΓ τὸν ΖΘ μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν ΘΑ.
ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΖ μετρεῖ καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΒΖ μετρεῖ·
そして、ΓΔ は BZ を測りつつ、自身より小さい ZA を残すものとし、AZ は ΔH を測りつつ、自身より小さい HΓ を残すものとし、HΓ は ZΘ を測りつつ、単位 ΘA を残すものとせよ。 さて、E は ΓΔ を測り、ΓΔ は BZ を測るのであるから、したがって E も BZ を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ·
しかし、それは全体である BA も測る。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσει.
したがって、残りである AZ も測るであろう。
ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρεῖ·
しかし、AZ は ΔH を測る。
καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΔΗ μετρεῖ·
したがって E も ΔH を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ·
しかし、それは全体である ΔΓ も測る。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΗ μετρήσει.
したがって、残りである ΓH も測るであろう。
ὁ δὲ ΓΗ τὸν ΖΘ μετρεῖ·
しかし、ΓH は ZΘ を測る。
καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΖΘ μετρεῖ·
したがって E も ZΘ を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ·
しかし、それは全体である ZA も測る。
καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει ἀριθμὸς ὤν·
したがって、残りである単位 AΘ も、数でありながら測るであろう。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς μετρήσει τις ἀριθμός·
したがって、AB, ΓΔ という数を測るようないかなる数も存在しないであろう。
οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν·
したがって、AB, ΓΔ は互いに素である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。
§7.prop.2δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
互いに素ではない二つの与えられた数について、それらの最大公約数（最大共通尺度）を見出すこと。
ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΓΔ. δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν.
与えられた互いに素ではない二つの数を AB, ΓΔ とせよ。 AB, ΓΔ の最大公約数を見出さねばならない。
εἰ μὲν οὖν ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν, ὁ ΓΔ ἄρα τῶν ΓΔ, ΑΒ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
もし ΓΔ が AB を測り、また自分自身をも測るならば、ΓΔ は ΓΔ, AB の公約数である。
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον·
そして、それが最大であることも明らかである。
οὐδεὶς γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ μετρήσει.
なぜなら、ΓΔ より大きい数で ΓΔ を測るものは存在しないからである。
εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ, τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος λειφθήσεταί τις ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ.
もし ΓΔ が AB を測らないならば、AB, ΓΔ から常に小さい方が大きい方から引き去られるとき、その前の数を測るようなある数が残されるであろう。
μονὰς μὲν γὰρ οὐ λειφθήσεται·
なぜなら、単位は残されないからである。
εἰ δὲ μή, ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.
もしそうでなければ、AB, ΓΔ は互いに素になるであろうが、これは仮定されていない。
λειφθήσεταί τις ἄρα ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ.
したがって、その前の数を測るようなある数が残されるであろう。
καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΕ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΕΑ, ὁ δὲ ΕΑ τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΓ, ὁ δὲ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρείτω.
そして、ΓΔ は BE を測りつつ、自身より小さい EA を残すものとし、EA は ΔZ を測りつつ、自身より小さい ZΓ を残すものとし、ΓZ は AE を測るものとせよ。
ἐπεὶ οὖν ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ, ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει·
さて、ΓZ は AE を測り、AE は ΔZ を測るのであるから、したがって ΓZ も ΔZ を測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν·
しかし、それは自分自身をも測る。
καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΔ μετρήσει.
したがって、全体である ΓΔ も測るであろう。
ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ·
しかし、ΓΔ は BE を測る。
καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ·
したがって ΓZ も BE を測る。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΑ·
しかし、それは EA も測る。
καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΒΑ μετρήσει·
したがって、全体である BA も測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΓΔ·
しかし、それは ΓΔ も測る。
ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ.
したがって ΓZ は AB, ΓΔ を測る。
ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν.
したがって ΓZ は AB, ΓΔ の公約数である。
λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον.
私は、それが最大でもあると主張する。
εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστον κοινὸν μέτρον, μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν τοῦ ΓΖ. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Η. καὶ ἐπεὶ ὁ Η τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ, καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ·
なぜなら、もし ΓZ が AB, ΓΔ の最大公約数でないならば、ΓZ より大きいある数が AB, ΓΔ という数を測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ·
それを測るものとし、それを H とせよ。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΕ μετρήσει.
そして、H は ΓΔ を測り、ΓΔ は BE を測るのであるから、したがって H も BE を測る。
ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ·
しかし、それは全体である BA も測る。
καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει·
したがって、残りである AE も測るであろう。
μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ·
しかし、AE は ΔZ を測る。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα·
したがって H も ΔZ を測るであろう。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
しかし、それは全体である ΔΓ も測る。
οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ ΓΖ·
したがって、残りである ΓZ を、より大きい数がより小さい数を測ることになる。
ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον·
これは不可能である。
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したがって、ΓZ より大きいようないかなる数も AB, ΓΔ という数を測ることはないであろう。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει·
したがって ΓZ は AB, ΓΔ の最大公約数である。 系このことから明らかなように、もしある数が二つの数を測るならば、それはそれらの最大公約数をも測るであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明されるべきことであった。