§6.prop.12τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
求三条已知直线的第四比例线段。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ·
设三条已知直线为 A、B、C。
δεῖ δὴ τῶν Α, Β, Γ τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν.
要在 A、B、C 之外求出一条第四比例线段。
Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΕ, ΔΖ γωνίαν περιέχουσαι τὴν ὑπὸ ΕΔΖ·
设两条直线 DE、DZ 放置以夹角 EDZ。
καὶ κείσθω τῇ μὲν Α ἴση ἡ ΔΗ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΗΕ, καὶ ἔτι τῇ Γ ἴση ἡ ΔΘ·
并令 DH 等于 A，HE 等于 B，进一步令 DΘ 等于 C。
καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΗΘ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΕΖ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔΕΖ παρὰ μίαν τὴν ΕΖ ἦκται ἡ ΗΘ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΔΘ πρὸς τὴν ΘΖ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΗ τῇ Α, ἡ δὲ ΗΕ τῇ Β, ἡ δὲ ΔΘ τῇ Γ·
连接 HΘ，且通过 E 作平行于它的直线 EZ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΘΖ.
τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Α, Β, Γ τετάρτη ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΘΖ·
于是，因为在三角形 DEZ 中，平行于它的一边 EZ 引了直线 HΘ，所以正如 DH 对 HE，DΘ 对 ΘZ。 而 DH 等于 A，HE 等于 B，DΘ 等于 C；因此，正如 A 对 B，C 对 ΘZ。 因此，对应于给定的三条直线 A、B、C，求出了它们的第四比例线段 ΘZ。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
这就是所要作的。
§6.prop.13δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.
求两条已知直线的比例中项。
ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ·
设给定的两条直线为 AB、BC。
δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.
要在 AB、BC 之外求出一条比例中项。
κείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΓ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ.
ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΓ, ὀρθή ἐστιν.
令它们在一条直线上放置，且在 AC 上作半圆 ADC，从点 B 作垂直于直线 AC 的直线 BD，并连接 AD、DC。 因为在半圆中的角 ADC 是直角。
καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΔΒ, ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν.
又因为在直角三角形 ADC 中，从直角向底边引了垂线 DB，所以 DB 是底边的分段 AB、BC 的比例中项。
δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον προσεύρηται ἡ ΔΒ·
因此，对应于给定的两条直线 AB、BC，求出了它们的比例中项 DB。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
这就是所要作的。
§6.prop.14τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
在相等且等角的平行四边形中，夹等角的边是逆比例的；而在夹等角的边是逆比例的等角平行四边形中，它们是相等的。
ἔστω ἴσα τε καὶ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τῷ Β γωνίας, καὶ κείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας αἱ ΔΒ, ΒΕ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ ΖΒ, ΒΗ. λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ.
συμπεπληρώσθω γὰρ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον.
设 AB、BC 为相等且等角的平行四边形，它们在 B 处的角相等。 令 DB、BE 在一条直线上放置；因此 ZB、BH 也在一条直线上。 我说，在 AB、BC 中，夹等角的边是逆比例的，也就是说，正如 DB 对 BE，HB 对 BZ。 因为，设平行四边形 ZE 被补足。
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΖΕ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, ὡς δὲ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
于是，因为平行四边形 AB 等于平行四边形 BC，而另有某个平行四边形 ZE，所以正如 AB 对 ZE，BC 对 ZE。 然而，正如 AB 对 ZE，DB 对 BE，正如 BC 对 ZE，HB 对 BZ；因此，正如 DB 对 BE，HB 对 BZ。 所以，在平行四边形 AB、BC 中，夹等角的边是逆比例的。
ἀλλὰ δὴ ἔστω ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ·
但是，设正如 DB 对 BE，HB 对 BZ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.
我说，平行四边形 AB 等于平行四边形 BC。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, οὕτως τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ.
因为，既然正如 DB 对 BE，HB 对 BZ，然而正如 DB 对 BE，平行四边形 AB 对平行四边形 ZE，正如 HB 对 BZ，平行四边形 BC 对平行四边形 ZE；所以，正如 AB 对 ZE，BC 对 ZE；因此，平行四边形 AB 等于平行四边形 BC。
τῶν ἄρα ἴσων τε καὶ ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα·
因此，在相等且等角的平行四边形中，夹等角的边是逆比例的；而在夹等角的边是逆比例的等角平行四边形中，它们是相等的。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。