§6.prop.33ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφʼ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
在等圆中，角与其所站的弧有相同的比，无论它们是站在圆心上还是站在圆周上。
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αὐτῶν τοῖς Η, Θ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.
κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΓΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΖ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΖΜ, ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΗΛ, ΘΜ, ΘΝ.
ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ περιφέρειαι ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΓΗΚ, ΚΗΛ γωνίαι ἀλλήλαις· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΒΓ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΖ. εἰ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΕΝ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
设 ΑΒΓ、ΔΕΖ 为等圆，且在其圆心 Η、Θ 处的角为 ΒΗΓ、ΕΘΖ，在圆周上的角为 ΒΑΓ、ΕΔΖ；我说，弧 ΒΓ 比弧 ΕΖ 犹如角 ΒΗΓ 比角 ΕΘΖ，且角 ΒΑΓ 比角 ΕΔΖ。 因为，设与弧 ΒΓ 相接且相等的任意多个弧为 ΓΚ、ΚΛ，与弧 ΕΖ 相等的任意多个弧为 ΖΜ、ΜΝ，且连接 ΗΚ、ΗΛ、ΘΜ、ΘΝ。 因为弧 ΒΓ、ΓΚ、ΚΛ 彼此相等，所以角 ΒΗΓ、ΓΗΚ、ΚΗΛ 也彼此相等；因此，弧 ΒΛ 是弧 ΒΓ 的多少倍，角 ΒΗΛ 也就是角 ΒΗΓ 的多少倍。 由于同样原因，弧 ΝΕ 是弧 ΕΖ 的多少倍，角 ΝΘΕ 也就是角 ΕΘΖ 的多少倍。 所以，如果弧 ΒΛ 等于弧 ΕΝ，角 ΒΗΛ 也等于角 ΕΘΝ；如果弧 ΒΛ 大于弧 ΕΝ，角 ΒΗΛ 也大于角 ΕΘΝ；如果小于，则小于。
τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἰσάκις πολλαπλασίων ἥ τε ΒΛ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία, τῆς δὲ ΕΖ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΕΘΖ γωνίας ἥ τε ΕΝ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ γωνία.
今有四个量，即两个弧 ΒΓ、ΕΖ，和两个角 ΒΗΓ、ΕΘΖ；已经取了弧 ΒΓ 和角 ΒΗΓ 的等倍量，即弧 ΒΛ 和角 ΒΗΛ，又取了弧 ΕΖ 和角 ΕΘΖ 的等倍量，即弧 ΕΝ 和角 ΕΘΝ。
καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, ὑπερέχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ γωνίας, καὶ εἰ ἴση, ἴση, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
并且已经证明，如果弧 ΒΛ 超过弧 ΕΝ，角 ΒΗΛ 也超过角 ΕΘΝ；如果相等，则相等；如果小于，则小于。
ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας.
因此，弧 ΒΓ 比弧 ΕΖ 犹如角 ΒΗΓ 比角 ΕΘΖ。 但是角 ΒΗΓ 比角 ΕΘΖ 犹如角 ΒΑΓ 比角 ΕΔΖ；因为前者分别是后者的两倍。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφʼ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，弧 ΒΓ 比弧 ΕΖ 犹如角 ΒΗΓ 比角 ΕΘΖ，且角 ΒΑΓ 比角 ΕΔΖ。 因此，在等圆中，角与其所站的弧有相同的比，无论它们是站在圆心上还是站在圆周上；这就是所要证明的。