§6.prop.33ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφʼ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
똑같은 원들에서 각들은 그것들이 서 있는 호들에 대하여 같은 비를 가진다, 그것들이 중심에 서 있든 원주 위에 서 있든 간에.
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αὐτῶν τοῖς Η, Θ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ·
ΑΒΓ, ΔΕΖ 가 똑같은 원들이라 하고, 그것들의 중심 Η, Θ 에 있는 각들을 ΒΗΓ, ΕΘΖ 라 하고, 원주 위에 있는 각들을 ΒΑΓ, ΕΔΖ 라 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.
κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΓΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΖ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΖΜ, ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΗΛ, ΘΜ, ΘΝ.
ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ περιφέρειαι ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΓΗΚ, ΚΗΛ γωνίαι ἀλλήλαις·
나는 호 ΒΓ 의 호 ΕΖ 에 대한 비는, 각 ΒΗΓ 의 각 ΕΘΖ 에 대한 비 및 각 ΒΑΓ 의 각 ΕΔΖ 에 대한 비와 같다고 주장한다. 왜냐하면 호 ΒΓ 와 같고 차례로 이어지는 임의의 개수의 호들 ΓΚ, ΚΛ 이 놓이고, 호 ΕΖ 와 같은 임의의 개수의 호들 ΖΜ, ΜΝ 이 놓였다고 하고, ΗΚ, ΗΛ, ΘΜ, ΘΝ 이 연결되었다고 하자. 그러므로 호 ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ 은 서로 같으므로, 각 ΒΗΓ, ΓΗΚ, ΚΗΛ 도 서로 같다.
ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΒΓ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΖ. εἰ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΕΝ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
그러므로 호 ΒΛ 이 호 ΒΓ 의 몇 배이든 간에, 각 ΒΗΛ 도 각 ΒΗΓ 의 그만큼의 배이다. 같은 이유로 또한 호 ΝΕ 가 호 ΕΖ 의 몇 배이든 간에, 각 알각(각 ΝΘΕ)도 각 ΕΘΖ 의 그만큼의 배이다. 그러므로 만약 호 ΒΛ 이 호 ΕΝ 과 같다면, 각 ΒΗΛ 도 각 ΕΘΝ 과 같고, 만약 호 ΒΛ 이 호 ΕΝ 보다 크다면, 각 ΒΗΛ 도 각 ΕΘΝ 보다 크며, 만약 작다면, 작다.
τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἰσάκις πολλαπλασίων ἥ τε ΒΛ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία, τῆς δὲ ΕΖ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΕΘΖ γωνίας ἥ τε ΕΝ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ γωνία.
이제 네 개의 크기들, 즉 두 호 ΒΓ, ΕΖ 와 두 각 ΒΗΓ, ΕΘΖ 가 있어, 호 ΒΓ 와 각 ΒΗΓ 의 같은 배수로 호 ΒΛ 과 각 ΒΗΛ 이 취해졌고, 호 ΕΖ 와 각 ΕΘΖ 의 같은 배수로 호 ΕΝ 과 각 ΕΘΝ 이 취해졌다.
καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, ὑπερέχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ γωνίας, καὶ εἰ ἴση, ἴση, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων.
그리고 만약 호 ΒΛ 이 호 ΕΝ 을 초과하면, 각 ΒΗΛ 도 각 ΕΘΝ 을 초과하고, 만약 같으면 같고, 만약 작으면 작다는 것이 증명되었다.
ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ·
그러므로 호 ΒΓ 의 호 ΕΖ 에 대한 비는, 각 ΒΗΓ 의 각 ΕΘΖ 에 대한 비와 같다. 그러나 각 ΒΗΓ 의 각 ΕΘΖ 에 대한 비는, 각 ΒΑΓ 의 각 ΕΔΖ 에 대한 비와 같다.
διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας.
왜냐하면 각각은 각각의 두 배이기 때문이다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφʼ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι·
그러므로 또한 호 ΒΓ 의 호 ΕΖ 에 대한 비는, 각 ΒΗΓ 의 각 ΕΘΖ 에 대한 비 및 각 ΒΑΓ 의 각 ΕΔΖ 에 대한 비와 같다. 그러므로 똑같은 원들에서 각들은 그것들이 서 있는 호들에 대하여 같은 비를 가진다, 그것들이 중심에 서 있든 원주 위에 서 있든 간에.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 했던 일이다.