§6.prop.33ἐν τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφʼ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι.
等しい円において、角は、それらが立っている弧に対して同じ比を持つ。 それらが中心において立っていようと、円周において立っていようと。
ἔστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ πρὸς μὲν τοῖς κέντροις αὐτῶν τοῖς Η, Θ γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.
κείσθωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΓΚ, ΚΛ, τῇ δὲ ΕΖ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΖΜ, ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΗΛ, ΘΜ, ΘΝ.
ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΒΓ, ΓΚ, ΚΛ περιφέρειαι ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΓΗΚ, ΚΗΛ γωνίαι ἀλλήλαις· ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΒΓ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ, τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΖ. εἰ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ ΕΝ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἰσάκις πολλαπλασίων ἥ τε ΒΛ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία, τῆς δὲ ΕΖ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΕΘΖ γωνίας ἥ τε ΕΝ περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΝ γωνία. καὶ δέδεικται, ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας, ὑπερέχει καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΝ γωνίας, καὶ εἰ ἴση, ἴση, καὶ εἰ ἐλάσσων, ἐλάσσων. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ· διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΖ περιφέρειαν, οὕτως ἥ τε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ.
ἐν ἄρα τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον ταῖς περιφερείαις, ἐφʼ ὧν βεβήκασιν, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις ὦσι βεβηκυῖαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ΑΒΓ、ΔΕΖを等しい円とし、それらの中心 Η、Θにおける角をΒΗΓ、ΕΘΖとし、円周における角をΒΑΓ、ΕΔΖとせよ。私は言う、弧ΒΓの弧ΕΖに対する比は、角ΒΗΓの角ΕΘΖに対する比、および角 ΒΑΓの角ΕΔΖに対する比に等しいと。なぜなら、弧ΒΓに等しく、それに連続する任意の数の弧ΓΚ、ΚΛが置かれ、弧ΕΖに等しい任意の数の弧ΖΜ、ΜΝが置かれたとし、ΗΚ、ΗΛ、ΘΜ、ΘΝが結ばれたとせよ。そのとき、弧ΒΓ、ΓΚ、ΚΛは互いに等しいので、角ΒΗΓ、ΓΗΚ、ΚΗΛもまた互いに等しい。したがって、弧ΒΛが弧ΒΓの何倍であっても、角ΒΗΛもまた角ΒΗΓのその倍数である。同じ理由によりまた、弧ΝΕが弧ΕΖの何倍であっても、角 ΝΘΕもまた角ΕΘΖのその倍数である。それゆえ、もし弧ΒΛが弧ΕΝに等しいならば、角ΒΗΛもまた角ΕΘΝに等しく、もし弧ΒΛが弧ΕΝより大きいならば、角ΒΗΛもまた角ΕΘΝより大きく、もし小さいならば、小さい。今、四つの大きさ、すなわち二つの弧ΒΓ、ΕΖと、二つの角ΒΗΓ、ΕΘΖがあり、弧ΒΓと角ΒΗΓの同倍として弧ΒΛと角ΒΗΛが取られ、弧ΕΖと角 ΕΘΖの同倍として弧ΕΝと角ΕΘΝが取られた。そして、もし弧ΒΛが弧ΕΝを超えるならば、角ΒΗΛもまた角ΕΘΝを超え、もし等しいならば等しく、もし小さいならば小さいということが証明された。したがって、弧ΒΓの弧ΕΖに対する比は、角 ΒΗΓの角ΕΘΖに対する比に等しい。しかし、角ΒΗΓの角ΕΘΖに対する比は、角ΒΑΓの角ΕΔΖに対する比に等しい。なぜなら、それぞれはそれぞれの二倍だからである。したがってまた、弧ΒΓの弧ΕΖに対する比は、角ΒΗΓの角ΕΘΖに対する比、および角 ΒΑΓの角ΕΔΖに対する比に等しい。それゆえ、等しい円において、角は、それらが立っている弧に対して同じ比を持つ。それらが中心において立っていようと、円周において立っていようと。これが証明すべきことであった。