§6.prop.31ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
在直角三角形中，在直角所对边上描绘的图形，等于在夹直角各边上所描绘的相似且同样描绘的各图形（之和）。
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
设直角三角形为 ΑΒΓ，其角 ΒΑΓ 为直角；我说，在 ΒΓ 上的图形等于在 ΒΑ、ΑΓ 上的相似且同样描绘的图形（之和）。
ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ.
ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ Α ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις.
设引垂线 ΑΔ。 因为在直角三角形 ΑΒΓ 中，从 Α 处的直角向底边 ΒΓ 引了垂线 ΑΔ，所以在垂线两旁的三角形 ΑΒΔ、ΑΔΓ 相似于整个三角形 ΑΒΓ，且它们彼此相似。
καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
又因为 ΑΒΓ 相似于 ΑΒΔ，所以 ΓΒ 比 ΒΑ 犹如 ΑΒ 比 ΒΔ。 因为三条直线成比例，第一条比第三条，犹如在第一条上描绘的图形比在第二条上描绘的相似且同样描绘的图形。
ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
所以，ΓΒ 比 ΒΔ 犹如在 ΓΒ 上的图形比在 ΒΑ 上的相似且同样描绘的图形。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ. ὥστε καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὰς ΒΔ, ΔΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα.
由于同样原因，ΒΓ 比 ΓΔ 犹如在 ΒΓ 上的图形比在 ΓΑ 上的图形。 因此，ΒΓ 比 ΒΔ 与 ΔΓ 之和，犹如在 ΒΓ 上的图形比在 ΒΑ、ΑΓ 上的相似且同样描绘的图形（之和）。
ἴση δὲ ἡ ΒΓ ταῖς ΒΔ, ΔΓ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
而 ΒΓ 等于 ΒΔ 与 ΔΓ 之和；因此，在 ΒΓ 上的图形也等于在 ΒΑ、ΑΓ 边上描绘的相似且同样描绘的图形（之和）。
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在直角三角形中，在直角所对边上描绘的图形，等于在夹直角各边上描绘的相似且同样描绘的图形（之和）；这就是所要证明的。
§6.prop.32ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπʼ εὐθείας ἔσονται.
如果两个三角形拼接于一个角，使它们的两条边与两条边成比例，且它们的对应边也互相平行，那么三角形的其余两边将在同一直线上。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΒΑ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΓ, ΔΕ ἀνάλογον ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΔΓ πρὸς τὴν ΔΕ, παράλληλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΕ· λέγω, ὅτι ἐπʼ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
设有两个三角形 ΑΒΓ、ΔΓΕ，其两条边 ΒΑ、ΑΓ 与两条边 ΔΓ、ΔΕ 成比例，即 ΑΒ 比 ΑΓ 犹如 ΔΓ 比 ΔΕ，且 ΑΒ 平行于 ΔΓ，ΑΓ 平行于 ΔΕ；我说，ΒΓ 与 ΓΕ 在同一直线上。 因为 ΑΒ 平行于 ΔΓ，且直线 ΑΓ 交于它们，所以内错角 ΒΑΓ、ΑΓΔ 彼此相等。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν.
由于同样原因，角 ΓΔΕ 也等于角 ΑΓΔ。
ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση.
因此角 ΒΑΓ 也等于角 ΓΔΕ。
καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ μίαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ ἴση ἐστίν.
又因为有两个三角形 ΑΒΓ、ΔΓΕ，在 Α 处的一个角等于在 Δ 处的一个角，且等角两旁的边成比例，即 ΒΑ 比 ΑΓ 犹如 ΓΔ 比 ΔΕ，所以三角形 ΑΒΓ 与三角形 ΔΓΕ 等角；因此角 ΑΒΓ 等于角 ΔΓΕ。 但已证明角 ΑΓΔ 也等于角 ΒΑΓ；因此整个角 ΑΓΕ 等于两个角 ΑΒΓ、ΒΑΓ 之和。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ ἴσαι εἰσίν.
加上公共的角 ΑΓΒ；因此角 ΑΓΕ、ΑΓΒ 之和等于角 ΒΑΓ、ΑΓΒ、ΓΒΑ 之和。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
但是角 ΒΑΓ、ΑΒΓ、ΑΓΒ 之和等于两个直角；因此角 ΑΓΕ 与 ΑΓΒ 之和也等于两个直角。
πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΓ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΓΕ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπʼ εὐθείας ἔσονται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
在直线 ΑΓ 及其上的点 Γ 处，不在同一侧的两条直线 ΒΓ、ΓΕ 作出相邻的角 ΑΓΕ、ΑΓΒ 等于两个直角；因此 ΒΓ 与 ΓΕ 在同一直线上。 因此，如果两个三角形拼接于一个角，使它们的两条边与两条边成比例，且它们的对应边也互相平行，那么三角形的其余两边将在同一直线上；这就是所要证明的。