§6.prop.31ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
直角三角形において、直角に対する辺の上に描かれた図形は、直角を挟む辺の上に描かれた、相似でかつ同様に描かれた図形（たちの和）に等しい。
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν·
直角三角形 ΑΒΓ が角 ΒΑΓ を直角としてあるとする。
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
私は言う、ΒΓ 上に描かれた図形は、ΒΑ, ΑΓ 上に相似でかつ同様に描かれた図形（たちの和）に等しい。
ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ.
ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ Α ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις.
垂線 ΑΔ が引かれたとせよ。 さて、直角三角形 ΑΒΓ において、Α における直角から底辺 ΒΓ へ垂線 ΑΔ が引かれたので、垂線のところにある三角形 ΑΒΔ, ΑΔΓ は全体 ΑΒΓ および互いに相似である。
καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
そして ΑΒΓ は ΑΒΔ に相似であるので、それゆえ ΓΒ の ΒΑ に対する比は、 ΑΒ の ΒΔ に対する比と同じである。 そして3つの直線が比例関係にあるとき、最初の直線の第3の直線に対する比は、第1の直線の上に描かれた図形の、第2の直線の上に相似でかつ同様に描かれた図形に対する比と同じである。
ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
それゆえ、ΓΒ の ΒΔ に対する比は、ΓΒ 上に描かれた図形の、ΒΑ 上に相似でかつ同様に描かれた図形に対する比と同じである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ. ὥστε καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὰς ΒΔ, ΔΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα.
同じ理由により、ΒΓ の ΓΔ に対する比は、ΒΓ 上に描かれた図形の、ΓΑ 上に描かれた図形に対する比と同じである。 したがってまた、ΒΓ の ΒΔ と ΔΓ の和に対する比は、ΒΓ 上の図形の、ΒΑ, ΑΓ 上に相似でかつ同様に描かれた図形（たちの和）に対する比と同じである。
ἴση δὲ ἡ ΒΓ ταῖς ΒΔ, ΔΓ·
ところで ΒΓ は ΒΔ と ΔΓ の和に等しい。
ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
それゆえまた、ΒΓ 上に描かれた図形は、ΒΑ, ΑΓ 上に描かれた、相似でかつ同様に描かれた図形（たちの和）に等しい。
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις·
それゆえ、直角三角形において、直角に対する辺の上に描かれた図形は、直角を挟む辺の上に描かれた、相似でかつ同様に描かれた図形（たちの和）に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。
§6.prop.32ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπʼ εὐθείας ἔσονται.
もし2つの三角形が、1つの角において、2つの辺が2つの辺に比例するように合わされ、それらの対応する辺が平行でもあるならば、三角形の残りの辺は一直線上にある。
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΒΑ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΓ, ΔΕ ἀνάλογον ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΔΓ πρὸς τὴν ΔΕ, παράλληλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΕ·
2つの三角形 ΑΒΓ, ΔΓΕ が、2つの辺 ΒΑ, ΑΓ を2つの辺 ΔΓ, ΔΕ に比例させ、ΑΒ の ΑΓ に対する比が ΔΓ の ΔΕ に対する比と同じであり、さらに ΑΒ は ΔΓ に、ΑΓ は ΔΕ に平行であるようにあるとする。
λέγω, ὅτι ἐπʼ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
私は言う、ΒΓ は ΓΕ と一直線上にある。 なぜなら、ΑΒ は ΔΓ に平行であり、直線 ΑΓ がそれらに交わっているので、錯角である角 ΒΑΓ, ΑΓΔ は互いに等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν.
同じ理由により、角 ΓΔΕ も角 ΑΓΔ に等しい。
ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση.
したがってまた、角 ΒΑΓ は角 ΓΔΕ に等しい。
καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ μίαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ·
そして2つの三角形 ΑΒΓ, ΔΓΕ は、Α における1つの角が Δ における1つの角に等しく、等しい角を挟む辺が比例しており、ΒΑ の ΑΓ に対する比が ΓΔ の ΔΕ に対する比と同じであるので、それゆえ三角形 ΑΒΓ は三角形 ΔΓΕ と等角である。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση·
それゆえ角 ΑΒΓ は角 ΔΓΕ に等しい。 ところで角 ΑΓΔ は角 ΒΑΓ に等しいと証明された。
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ ἴση ἐστίν.
それゆえ全体としての角 ΑΓΕ は2つの角 ΑΒΓ, ΒΑΓ の和に等しい。
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ·
共通の角 ΑΓΒ が加えられたとせよ。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ ἴσαι εἰσίν.
それゆえ角 ΑΓΕ, ΑΓΒ の和は、角 ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ の和に等しい。
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
しかし角 ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΑΓΒ の和は2直角に等しい。
καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
それゆえまた角 ΑΓΕ, ΑΓΒ の和も2直角に等しい。
πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΓ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΓΕ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
それゆえ、ある直線 ΑΓ とその上の点 Γ において、同じ側にない2つの直線 ΒΓ, ΓΕ が、隣り合う角 ΑΓΕ, ΑΓΒ を2直角に等しく作っている。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπʼ εὐθείας ἔσονται·
それゆえ ΒΓ は ΓΕ と一直線上にある。 それゆえ、もし2つの三角形が、1つの角において、2つの辺が2つの辺に比例するように合わされ、それらの対応する辺が平行でもあるならば、三角形の残りの辺は一直線上にある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。