§6.prop.31ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
직각삼각형에서 직각을 마주 보는 변 위에 그려진 도형은, 직각을 끼고 있는 변들 위에 그려진 닮음이고 닮은 위치에 그려진 도형들의 합과 같다.
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν·
삼각형 ΑΒΓ 가 각 ΒΑΓ 를 직각으로 하는 직각삼각형이라 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
나는 ΒΓ 위에 그려진 도형이 ΒΑ, ΑΓ 위에 그려진 닮음이고 닮은 위치에 그려진 도형들의 합과 같다고 주장한다.
ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ.
ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ Α ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΑΔ, τὰ ΑΒΔ, ΑΔΓ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις.
수선 ΑΔ 가 그려졌다고 하자. 그렇다면 직각삼각형 ΑΒΓ 에서 Α 에 있는 직각으로부터 밑변 ΒΓ 에 수선 ΑΔ 가 그려졌으므로, 수선 주위에 있는 삼각형 ΑΒΔ, ΑΔΓ 는 전체 ΑΒΓ 및 서로와 닮음이다.
καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τῷ ΑΒΔ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ἔστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
그리고 ΑΒΓ 가 ΑΒΔ 와 닮음이므로, 그러므로 ΓΒ 의 ΒΑ 에 대한 비는 ΑΒ 의 ΒΔ 에 대한 비와 같다. 그리고 세 직선이 비례 관계에 있을 때, 첫 번째 것의 세 번째 것에 대한 비는 첫 번째 것 위에 그려진 도형의 두 번째 것 위에 그려진 닮음이고 닮은 위치에 그려진 도형에 대한 비와 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
그러므로 ΓΒ 의 ΒΔ 에 대한 비는 ΓΒ 위에 그려진 도형의 ΒΑ 위에 그려진 닮음이고 닮은 위치에 그려진 도형에 대한 비와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ. ὥστε καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὰς ΒΔ, ΔΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενα.
같은 이유로 또한 ΒΓ 의 ΓΔ 에 대한 비는 ΒΓ 위에 그려진 도형의 ΓΑ 위에 그려진 도형에 대한 비와 같다. 따라서 또한 ΒΓ 의 ΒΔ 와 ΔΓ 의 합에 대한 비는 ΒΓ 위에 그려진 도형의 ΒΑ, ΑΓ 위에 그려진 닮음이고 닮은 위치에 그려진 도형들의 합에 대한 비와 같다.
ἴση δὲ ἡ ΒΓ ταῖς ΒΔ, ΔΓ·
그런데 ΒΓ 는 ΒΔ 와 ΔΓ 의 합과 같다.
ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις.
그러므로 또한 ΒΓ 위에 그려진 도형은 ΒΑ, ΑΓ 위에 그려진 닮음이고 닮은 위치에 그려진 도형들의 합과 같다.
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν εἴδεσι τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις·
그러므로 직각삼각형에서 직각을 마주 보는 변 위에 그려진 도형은, 직각을 끼고 있는 변들 위에 그려진 닮음이고 닮은 위치에 그려진 도형들의 합과 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 했던 일이다.
§6.prop.32ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπʼ εὐθείας ἔσονται.
만약 두 삼각형이 한 각에서 만나도록 합쳐지며, 두 변이 다른 두 변과 비례하고 그 대응하는 변들이 평행하기도 하다면, 그 삼각형들의 남은 변들은 일직선 상에 있게 된다.
ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΒΑ, ΑΓ ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΔΓ, ΔΕ ἀνάλογον ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΔΓ πρὸς τὴν ΔΕ, παράλληλον δὲ τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΓ, τὴν δὲ ΑΓ τῇ ΔΕ·
두 삼각형 ΑΒΓ, ΔΓΕ 가 두 변 ΒΑ, ΑΓ 가 다른 두 변 ΔΓ, ΔΕ 와 비례하도록 놓여 있어, ΑΒ 의 ΑΓ 에 대한 비가 ΔΓ 의 ΔΕ 에 대한 비와 같고, ΑΒ 가 ΔΓ 와 평행하고 ΑΓ 가 ΔΕ 와 평행하다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐπʼ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΔΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΓ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
나는 ΒΓ 가 ΓΕ 와 일직선 상에 있다고 주장한다. 왜냐하면 ΑΒ 가 ΔΓ 와 평행하고 직선 ΑΓ 가 그것들과 만나므로, 엇각인 각 ΒΑΓ, ΑΓΔ 는 서로 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν.
같은 이유로 각 ΓΔΕ 도 각 ΑΓΔ 와 같다.
ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση.
그러므로 또한 각 ΒΑΓ 는 각 ΓΔΕ 와 같다.
καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΔΓΕ μίαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως τὴν ΓΔ πρὸς τὴν ΔΕ, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΓΕ τριγώνῳ·
그리고 두 삼각형 ΑΒΓ, ΔΓΕ 는 Α 에 있는 한 각이 Δ 에 있는 한 각과 같고, 그 같은 각을 끼고 있는 변들이 비례하여, ΒΑ 의 ΑΓ 에 대한 비가 ΓΔ 의 ΔΕ 에 대한 비와 같으므로, 그러므로 삼각형 ΑΒΓ 는 삼각형 ΔΓΕ 와 등각이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση·
그러므로 각 ΑΒΓ 는 각 ΔΓΕ 와 같다. 그런데 각 ΑΓΔ 가 각 ΒΑΓ 와 같다고 증명되었다.
ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ ἴση ἐστίν.
그러므로 전체 각 ΑΓΕ 는 두 각 ΑΒΓ, ΒΑΓ 의 합과 같다.
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ·
공통인 각 ΑΓΒ 를 더하자.
αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ ἴσαι εἰσίν.
그러면 각 ΑΓΕ, ΑΓΒ 의 합은 각 ΒΑΓ, ΑΓΒ, ΓΒΑ 의 합과 같다.
ἀλλʼ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν·
그런데 각 ΒΑΓ, 아각, 각 ΑΓΒ 의 합은 두 직각과 같다.
καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
그러므로 각 ΑΓΕ, 아각의 합도 두 직각과 같다.
πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΓ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΓ, ΓΕ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΓΕ, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν·
그러므로 한 직선 ΑΓ 와 그 위의 점 Γ 에 대하여 같은 쪽에 있지 않은 두 직선 ΒΓ, ΓΕ 가 이웃한 각 ΑΓΕ, 아각을 두 직각과 같게 만든다.
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΕ.
ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον ἔχοντα ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων πλευραὶ ἐπʼ εὐθείας ἔσονται·
그러므로 ΒΓ 는 ΓΕ 와 일직선 상에 있다. 그러므로 만약 두 삼각형이 한 각에서 만나도록 합쳐지며, 두 변이 다른 두 변과 비례하고 그 대응하는 변들이 평행하기도 하다면, 그 삼각형들의 남은 변들은 일직선 상에 있게 된다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 했던 일이다.