§6.prop.29παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι.
在给定的直线上贴合一个等于给定直边形的平行四边形，且超设一个与给定图形相似的平行四边形。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ὑπερβάλλειν, τὸ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τῷ Γ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ Δ.
τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμφοτέροις μὲν τοῖς ΒΖ, Γ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΗΘ. ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆς ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῆς ΖΕ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΛ, ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἴση ἔστω ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΜΝ·
设给定的直线为 ΑΒ，给定的直边形为 Γ（这是要在 ΑΒ 上贴合与其相等的平行四边形的），且要求与其相似的超设图形为 Δ；那么，必须在直线 ΑΒ 上贴合一个等于直边形 Γ 的平行四边形，且超设一个与 Δ 相似的平行四边形。
τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον.
设 ΑΒ 在点 Ε 处被平分，并在 ΕΒ 上描绘一个与 Δ 相似且位置相似的平行四边形 ΒΖ，并构成一个等于 ΒΖ 与 Γ 两者之和，且与 Δ 相似且位置相似的同样图形 ΗΘ。 设 ΚΘ 对应于 ΖΛ， ΚΗ 对应于 ΖΕ。 因为 ΗΘ 大于 ΖΒ，所以 ΚΘ 也大于 ΖΛ，且 ΚΗ 大于 ΖΕ。 设延长 ΖΛ、ΖΕ，并设 ΖΛΜ 等于 ΚΘ，ΖΕΝ 等于 ΚΗ，并补全平行四边形 ΜΝ；因此 ΜΝ 等于且相似于 ΗΘ。
ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον· καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΛ ὅμοιόν ἐστιν· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΕΛ τῷ ΜΝ. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΖΞ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
但 ΗΘ 相似于 ΕΛ；因此 ΜΝ 也相似于 ΕΛ；因此 ΕΛ 与 ΜΝ 在同一对角线上。 设其对角线为 ΖΞ，并画出图形。
ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖς ΕΛ, Γ, ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖς ΕΛ, Γ ἴσον ἐστίν.
因为 ΗΘ 等于 ΕΛ 与 Γ 之和，而 ΗΘ 等于 ΜΝ，所以 ΜΝ 也等于 ΕΛ 与 Γ 之和。
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ· λοιπὸς ἄρα ὁ ΨΧΦ γνώμων τῷ Γ ἐστιν ἴσος.
减去公共的 ΕΛ；因此其余的曲尺形 ΨΧΦ 等于 Γ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ ΝΒ, τουτέστι τῷ ΛΟ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΕΞ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμονι.
且因为 ΑΕ 等于 ΕΒ，所以 ΑΝ 也等于 ΝΒ，即等于 ΛΟ。 加上公共的 ΕΞ；因此整个 ΑΞ 等于曲尺形 ΦΧΨ。
ἀλλὰ ὁ ΦΧΨ γνώμων τῷ Γ ἴσος ἐστίν· καὶ τὸ ΑΞ ἄρα τῷ Γ ἴσον ἐστίν.
但曲尺形 ΦΧΨ 等于 Γ；因此 ΑΞ 也等于 Γ。
παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΠ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，在给定的直线 ΑΒ 上已经贴合了一个等于给定的直边形 Γ 的平行四边形 ΑΞ，且超设一个与 Δ 相似的平行四边形 ΠΟ（因为 ΟΠ 也相似于 ΕΛ）；这就是所要做的事。
§6.prop.30τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
将给定的有限直线分成外中比。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
设给定的有限直线为 ΑΒ；那么，必须将直线 ΑΒ 分成外中比。
Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ τῇ ΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ ΒΓ.
τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ· τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ ἐστιν ἴσον.
设在 ΑΒ 上描绘正方形 ΒΓ，并在 ΑΓ 上贴合一个等于 ΒΓ 的平行四边形 ΓΔ，且超设一个与 ΒΓ 相似的图形 ΑΔ。 而 ΒΓ 是正方形；因此 ΑΔ 也是正方形。 因为 ΒΓ 等于 ΓΔ，减去公共的 ΓΕ；因此其余的 ΒΖ 等于其余的 ΑΔ。
ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον· τῶν ΒΖ, ΑΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΕ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΑΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ. μείζων δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ.
ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ε, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστι τὸ ΑΕ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
且它与它也是等角的；因此在 ΒΖ 和 ΑΔ 中，等角两旁的边是互反比例的；因此，ΖΕ 比 ΕΔ 犹如 ΑΕ 比 ΕΒ。 但 ΖΕ 等于 ΑΒ，且 ΕΔ 等于 ΑΕ。 因此，ΒΑ 比 ΑΕ 犹如 ΑΕ 比 ΕΒ。 且 ΑΒ 大于 ΑΕ；因此 ΑΕ 也大于 ΕΒ。 因此，直线 ΑΒ 在点 Ε 处被分成外中比，且其较大的部分为 ΑΕ；这就是所要做的事。