§6.prop.29παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι.
주어진 직선 옆에 주어진 직선도형과 같은 평행사변형을, 주어진 모양과 닮은 평행사변형 모양만큼 초과하도록 대어 붙이는 것。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ὑπερβάλλειν, τὸ Δ·
주어진 직선을 ΑΒ 라 하고, ΑΒ 옆에 그것과 같게 대어 붙여야 할 주어진 직선도형을 Γ 라 하자. 그리고 그것과 닮게 초과해야 할 모양을 Δ 라 하자.
δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τῷ Γ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ Δ.
τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμφοτέροις μὲν τοῖς ΒΖ, Γ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΗΘ. ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆς ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῆς ΖΕ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΛ, ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἴση ἔστω ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΜΝ·
이때 직선 ΑΒ 옆에 직선도형 Γ 와 같은 평행사변형을, Δ 와 닮은 평행사변형 모양만큼 초과하도록 대어 붙여야 한다. ΑΒ 가 점 Ε 에서 이등분되었다고 하고, ΕΒ 위에 Δ 와 닮음이고 닮은 위치에 놓인 평행사변형 ΒΖ 가 그려지며, ΒΖ 와 Γ 의 둘의 합과 같고, Δ 와 닮음이며 닮은 위치에 놓인 평행사변형 ΗΘ 가 구성되었다고 하자. 그리고 ΚΘ 는 ΖΛ 에 대응하고, ΚΗ 는 ΖΕ 에 대응한다고 하자. 그리고 ΗΘ 는 ΖΒ 보다 크므로, 그러므로 또한 ΚΘ 는 ΖΛ 보다 크고, ΚΗ 는 ΖΕ 보다 크다. ΖΛ, ΖΕ 가 연장되고, ΚΘ 와 같은 ΖΛΜ 이 놓이고, ΚΗ 와 같은 ΖΕΝ 이 놓여서, ΜΝ 이 완성되었다고 하자.
τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον.
그러므로 ΜΝ 은 ΗΘ 와 같고 닮음이다.
ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον·
그런데 ΗΘ 는 ΕΛ 과 닮음이다.
καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΛ ὅμοιόν ἐστιν·
그러므로 ΜΝ 도 ΕΛ 과 닮음이다.
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΕΛ τῷ ΜΝ. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΖΞ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
그러므로 ΕΛ 은 ΜΝ 과 동일한 대각선 상에 있다. 그것들의 대각선을 ΖΞ 라 하고, 그림을 그리자.
ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖς ΕΛ, Γ, ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖς ΕΛ, Γ ἴσον ἐστίν.
ΗΘ 는 ΕΛ 과 Γ 의 합과 같고, 그런데 ΗΘ 는 ΜΝ 과 같으므로, 그러므로 또한 ΜΝ 도 ΕΛ 과 Γ 의 합과 같다.
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ·
공통인 ΕΛ 을 빼자.
λοιπὸς ἄρα ὁ ΨΧΦ γνώμων τῷ Γ ἐστιν ἴσος.
그러면 남은 그노몬 ΨΧΦ 는 Γ 와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ ΝΒ, τουτέστι τῷ ΛΟ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΕΞ·
그리고 ΑΕ 는 ΕΒ 와 같으므로, ΑΝ 도 ΝΒ, 즉 ΛΟ 와 같다. 공통인 ΕΞ 를 더하자.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμονι.
그러면 전체 ΑΞ 는 그노몬 ΦΧΨ 와 같다.
ἀλλὰ ὁ ΦΧΨ γνώμων τῷ Γ ἴσος ἐστίν·
그런데 그노몬 ΦΧΨ 는 Γ 와 같다.
καὶ τὸ ΑΞ ἄρα τῷ Γ ἴσον ἐστίν.
그러므로 ΑΞ 도 Γ 와 같다.
παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΠ·
그러므로 주어진 직선 ΑΒ 옆에 주어진 직선도형 Γ 와 같은 평행사변형 ΑΞ 가, Δ 와 닮은 평행사변형 ΠΟ 모양만큼 초과하도록 대어 붙여졌다（왜냐하면 ΟΠ 도 ΕΛ 과 닮음이기 때문이다）.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 해야 했던 일이다。
§6.prop.30τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
주어진 유한한 직선을 외중비로 나누는 것。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ·
주어진 유한한 직선을 ΑΒ 라 하자.
δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
이때 직선 ΑΒ 를 외중비로 나누어야 한다.
Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ τῇ ΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ ΒΓ.
τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ·
ΑΒ 위에 정사각형 ΒΓ 가 그려지고, ΑΓ 옆에 ΒΓ 와 같은 평행사변형 ΓΔ 가, ΒΓ 와 닮은 ΑΔ 모양만큼 초과하도록 대어 붙여졌다고 하자。 그런데 ΒΓ 는 정사각형이다.
τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΕ·
그러므로 또한 ΑΔ 도 정사각형이다. 그리고 ΒΓ 는 ΓΔ 와 같으므로, 공통인 ΓΕ 를 빼자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ ἐστιν ἴσον.
그러면 남은 ΒΖ 는 남은 ΑΔ 와 같다.
ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον·
그리고 그것은 그것과 등각이기도 하다.
τῶν ΒΖ, ΑΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
그러므로 ΒΖ 와 ΑΔ 에서 같은 각을 끼고 있는 변들은 서로 반비례한다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΕ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΑΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ. μείζων δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ·
그러므로 ΖΕ 의 ΕΔ 에 대한 비는 ΑΕ 의 ΕΒ 에 대한 비와 같다. 그런데 ΖΕ 는 ΑΒ 와 같고, ΕΔ 는 ΑΕ 와 같다. 그러므로 ΒΑ 의 ΑΕ 에 대한 비는 ΑΕ 의 ΕΒ 에 대한 비와 같다. 그리고 ΑΒ 는 ΑΕ 보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ.
ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ε, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστι τὸ ΑΕ·
그러므로 또한 ΑΕ 도 ΕΒ 보다 크다。 그러므로 직선 ΑΒ 는 점 Ε 에서 외중비로 나누어졌으며, 그것의 더 큰 선분은 ΑΕ 이다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 해야 했던 일이다.