§6.prop.29παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι.
与えられた直線に沿って、与えられた直線形に等しい平行四辺形を、与えられた図形に相似な平行四辺形の形状を超過するようにあてがうこと。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλεῖν, τὸ Γ, ᾧ δὲ δεῖ ὅμοιον ὑπερβάλλειν, τὸ Δ·
与えられた直線が ΑΒ、与えられた直線形（ΑΒ に沿ってそれに等しくあてがうべきもの）が Γ とし、それに相似に超過すべき図形を Δ とする。
δεῖ δὴ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τῷ Γ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ Δ.
τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΒ τῷ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμφοτέροις μὲν τοῖς ΒΖ, Γ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ ΗΘ. ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ μὲν ΚΘ τῇ ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΖΒ, μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆς ΖΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῆς ΖΕ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΛ, ΖΕ, καὶ τῇ μὲν ΚΘ ἴση ἔστω ἡ ΖΛΜ, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ΖΕΝ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΜΝ·
このとき、直線 ΑΒ に沿って、直線形 Γ に等しい平行四辺形を、Δ に相似な平行四辺形の形状を超過するようにあてがわねばならない。 ΑΒ が点 Ε において二等分されたとせよ。 そして ΕΒ から、Δ に相似でかつ同様に位置する平行四辺形 ΒΖ が記述され、ΒΖ と Γ の両方の和に等しく、かつ Δ に相似で同様に位置する、同じような平行四辺形 ΗΘ が構成されたとせよ。 そして、ΚΘ は ΖΛ に、 ΚΗ は ΖΕ に対応するものとせよ。 そして ΗΘ は ΖΒ よりも大きいので、それゆえまた ΚΘ は ΖΛ よりも大きく、ΚΗ は ΖΕ よりも大きい。 ΖΛ, ΖΕ が延長され、ΚΘ に等しい ΖΛΜ、ΚΗ に等しい ΖΕΝ とし、ΜΝ が補い完成されたとせよ。
τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΗΘ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον.
それゆえ ΜΝ は ΗΘ に等しくかつ相似である。
ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον·
しかし ΗΘ は ΕΛ に相似である。
καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τῷ ΕΛ ὅμοιόν ἐστιν·
それゆえまた ΜΝ も ΕΛ に相似である。
περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΕΛ τῷ ΜΝ. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΖΞ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
したがって、ΕΛ は ΜΝ と同じ対角線の周りにある。 それらの対角線を ΖΞ とし、図が描かれたとせよ。
ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΘ τοῖς ΕΛ, Γ, ἀλλὰ τὸ ΗΘ τῷ ΜΝ ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΜΝ ἄρα τοῖς ΕΛ, Γ ἴσον ἐστίν.
ΗΘ は ΕΛ と Γ の和に等しく、しかし ΗΘ は ΜΝ に等しいので、それゆえまた ΜΝ も ΕΛ と Γ の和に等しい。
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΕΛ·
共通の ΕΛ が取り去られたとせよ。
λοιπὸς ἄρα ὁ ΨΧΦ γνώμων τῷ Γ ἐστιν ἴσος.
それゆえ残りのグノーモン ΨΧΦ は Γ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ ΝΒ, τουτέστι τῷ ΛΟ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΕΞ·
そして ΑΕ は ΕΒ に等しいので、ΑΝ も ΝΒ、すなわち ΛΟ に等しい。 共通の ΕΞ が加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμονι.
それゆえ全体 ΑΞ はグノーモン ΦΧΨ に等しい。
ἀλλὰ ὁ ΦΧΨ γνώμων τῷ Γ ἴσος ἐστίν·
しかしグノーモン ΦΧΨ は Γ に等しい。
καὶ τὸ ΑΞ ἄρα τῷ Γ ἴσον ἐστίν.
それゆえまた ΑΞ も Γ に等しい。
παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΑΞ ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ, ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΠ·
したがって、与えられた直線 ΑΒ に沿って、与えられた直線形 Γ に等しい平行四辺形 ΑΞ が、Δ に相似な平行四辺形 ΠΟ の形状を超過するようにあてがわれた（なぜなら ΟΠ もまた ΕΛ に相似であるからである）。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。
§6.prop.30τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
与えられた有限の直線を外中比に分けること。
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ·
与えられた有限の直線が ΑΒ であるとする。
δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
このとき、直線 ΑΒ を外中比に分けねばならない。
Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΒΓ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΑΓ τῇ ΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΑΔ ὁμοίῳ τῷ ΒΓ.
τετράγωνον δέ ἐστι τὸ ΒΓ·
ΑΒ から正方形 ΒΓ が記述され、ΑΓ に沿って、ΒΓ に等しい平行四辺形 ΓΔ が、ΒΓ に相似な ΑΔ の形状を超過するようにあてがわれたとせよ。 ところで ΒΓ は正方形である。
τετράγωνον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΓ τῷ ΓΔ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΕ·
それゆえまた ΑΔ も正方形である。 そして ΒΓ は ΓΔ に等しいので、共通の ΓΕ が取り去られたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΖ λοιπῷ τῷ ΑΔ ἐστιν ἴσον.
それゆえ残りの ΒΖ は残りの ΑΔ に等しい。
ἔστι δὲ αὐτῷ καὶ ἰσογώνιον·
そして、それはそれと等角でもある。
τῶν ΒΖ, ΑΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας·
それゆえ ΒΖ, ΑΔ について、等しい角をはさむ辺は互いに反比例する。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΕ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΕΔ τῇ ΑΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ. μείζων δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΑΕ·
それゆえ、ΖΕ の ΕΔ に対する比は、ΑΕ の ΕΒ に対する比と同じである。 ところで ΖΕ は ΑΒ に等しく、ΕΔ は ΑΕ に等しい。 それゆえ、ΒΑ の ΑΕ に対する比は、ΑΕ の ΕΒ に対する比と同じである。 そして ΑΒ は ΑΕ よりも大きい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΒ.
ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ε, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστι τὸ ΑΕ·
それゆえまた ΑΕ も ΕΒ よりも大きい。 したがって、直線 ΑΒ は点 Ε において外中比に切断され、その大きい方の線分は ΑΕ である。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これがなすべきことであった。