§6.prop.20#2ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΝ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ τῇ ὑπὸ ΖΗΝ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΖΝΗ ἴση ἐστίν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ΖΗΝ τριγώνῳ.
因为设连接 AΓ、ΖΘ。 又因为，由于多边形的相似性，角 ABΓ 等于角 ZHΘ，并且正如 AB 对 BΓ，ZH 对 HΘ，所以三角形 ABΓ 与三角形 ΖΗΘ 是等角的；因此角 BAΓ 等于角 HΖΘ，且角 BΓA 等于角 HΘΖ。 又因为角 BAM 等于角 HΖN，且角 ABM 也等于角 ΖHN，所以剩余的角 AMB 也等于剩余的角 ΖNH；因此三角形 ABM 与三角形 ΖHN 是等角的。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ΒΜΓ τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΗΝΘ τριγώνῳ.
同样地，我们也可以证明，三角形 BMΓ 与三角形 HNΘ 也是等角的。
ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΗ, ὡς δὲ ἡ ΒΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΗΝ πρὸς ΝΘ·
因此成比例，正如 AM 对 MB，ΖN 对 NH；而正如 BM 对 MΓ，HN 对 NΘ。
ὥστε καὶ διʼ ἴσου, ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΜ πρὸς τὸ ΜΒΓ, καὶ τὸ ΑΜΕ πρὸς τὸ ΕΜΓ· πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.
因此通过等比，正如 AM 对 MΓ，ΖN 对 NΘ。 但正如 AM 对 MΓ，正如 ABM 对 MBΓ，也是 AME 对 EMΓ；因为它们彼此之比等于它们底边之比。
καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
因此，正如前项之一对后项之一，所有前项对所有后项也如此。
ὡς ἄρα τὸ ΑΜΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ ΓΒΕ. ἀλλʼ ὡς τὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ΒΜΓ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΓ τρίγωνον.
因此，正如三角形 AMB 对三角形 BMΓ，三角形 ABE 对三角形 ΓBE 也如此。 但正如三角形 AMB 对三角形 BMΓ，AM 对 MΓ；从而正如 AM 对 MΓ，三角形 ABE 对三角形 EBΓ 也如此。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον.
由于同样的原因，正如 ΖN 对 NΘ，三角形 ΖHΛ 对三角形 HΛΘ 也如此。
καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ, οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον, καὶ ἐναλλὰξ, ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΛΘ τρίγωνον.
并且正如 AM 对 MΓ，ΖN 对 NΘ；从而正如三角形 ABE 对三角形 BEΓ，三角形 ΖHΛ 对三角形 HΛΘ 也如此，且更替地，正如三角形 ABE 对三角形 ΖHΛ，三角形 BEΓ 对三角形 HΛΘ 也如此。
ὁμοίως δὴ δείξομεν ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΒΔ, ΗΚ, ὅτι καὶ ὡς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΗΘ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΘΚ τρίγωνον.
同样地，若连接 BΔ、 HK，我们也可以证明，正如三角形 BEΓ 对三角形 ΛHΘ，三角形 EΓΔ 对三角形 ΛΘK 也如此。
καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ, καὶ ἔτι τὸ ΕΓΔ πρὸς τὸ ΛΘΚ, καὶ ὡς ἄρα ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον.
又因为正如三角形 ABE 对三角形 ΖHΛ，三角形 EBΓ 对三角形 ΛHΘ 也如此，此外三角形 EΓΔ 对三角形 ΛΘK 也如此，因此，正如前项之一对后项之一，所有前项对所有后项也如此；因此，正如三角形 ABE 对三角形 ΖHΛ，多边形 ABΓΔE 对多边形 ZHΘKΛ 也如此。
ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν· τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
但是三角形 ABE 对三角形 ΖHΛ 的比是对应边 AB 对对应边 ΖH 之比的双倍比；因为相似三角形之比等于其对应边的双倍比。
καὶ τὸ ΑΒΓΔΕ ἄρα πολύγωνον πρὸς τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΗ ὁμόλογον πλευράν.
所以多边形 ABΓΔE 对多边形 ZHΘKΛ 的比也是对应边 AB 对对应边 ΖH 之比的双倍比。
τὰ ἄρα ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν· .
因此，相似多边形可分割为相似三角形，且个数相等并对应于整体，且多边形对多边形的比是其对应边对对应边之比的双倍比。
Πόρισμα
ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τετραπλεύρων δειχθήσεται, ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
推论同样地，在四边形的情况下，也可以证明它们也是对应边的双倍比。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων· ὥστε καὶ καθόλου τὰ ὅμοια εὐθύγραμμα σχήματα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
而在三角形的情况下也已被证明；因此，一般而言，相似的直线图形彼此之比是对应边之比的双倍比。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。