§6.prop.15τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
在相等且有一角等于另一角的三角形中，夹等角的边是逆比例的；而在夹等角的边是逆比例的、有一角等于另一角的三角形中，它们是相等的。
ἔστω ἴσα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΑΔΕ μίαν μιᾷ ἴσην ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΑΕ·
设 ABΓ、AΔE 为相等的三角形，它们有一角等于另一角，即角 BAΓ 等于角 ΔAE。
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, τουτέστιν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ.
κείσθω γὰρ ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΑ τῇ ΑΔ·
我说，在三角形 ABΓ、AΔE 中，夹等角的边是逆比例的，也就是说，正如 ΓA 对 AΔ，EA 对 AB。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ.
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, ἄλλο δέ τι τὸ ΒΑΔ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΓΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον.
因为，设 ΓA 与 AΔ 在一条直线上放置；因此 EA 与 AB 也在一条直线上。 并连接 BΔ。 于是，因为三角形 ABΓ 等于三角形 AΔE，而另有某个三角形 BAΔ，所以正如三角形 ΓAB 对三角形 BAΔ，三角形 EAΔ 对三角形 BAΔ。
ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΓΑΒ πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ. τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ ἄρα τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.
然而，正如 ΓAB 对 BAΔ，ΓA 对 AΔ，而正如 EAΔ 对 BAΔ，EA 对 AB；因此，正如 ΓA 对 AΔ，EA 对 AB。 所以，在三角形 ABΓ、AΔE 中，夹等角的边是逆比例的。
ἀλλὰ δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ τῶν ΑΒΓ, ΑΔΕ τριγώνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ·
但是，设三角形 ABΓ、AΔE 的边是逆比例的，且正如 ΓA 对 AΔ， EA 对 AB。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ.
我说，三角形 ABΓ 等于三角形 AΔE。
Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς ΒΔ, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΕΑΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον.
因为，再次连接 BΔ，既然正如 ΓA 对 AΔ，EA 对 AB，然而正如 ΓA 对 AΔ，三角形 ABΓ 对三角形 BAΔ，而正如 EA 对 AB，三角形 EAΔ 对三角形 BAΔ，所以正如三角形 ABΓ 对三角形 BAΔ，三角形 EAΔ 对三角形 BAΔ。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒΓ, ΕΑΔ πρὸς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
因此，ABΓ、EAΔ 中的每一个对 BAΔ 都有相同的比。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τῷ ΕΑΔ τριγώνῳ.
因此，三角形 ABΓ 等于三角形 EAΔ。
τῶν ἄρα ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· καὶ ὧν μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν·
因此，在相等且有一角等于另一角的三角形中，夹等角的边是逆比例的；而在夹等角的边是逆比例的、有一角等于另一角的三角形中，它们是相等的。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。