§5.prop.6ἐὰν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.
若两量为两量的等倍数，且减去的某些部分亦为同两量的等倍数，则剩余部分对原两量或等于原量，或为原量的等倍数。
δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τὰ ΑΗ, ΓΘ τῶν αὐτῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια·
因为，设两量 AB, ΓΔ 为两量 E, Z 的等倍数，且减去的 AH, ΓΘ 亦为同量 E, Z 的等倍数。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.
我说，剩余的 HB, ΘΔ 对 E, Z 或是等于，或是它们的等倍数。
ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον.
先设 HB 等于 E。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.
我说，ΘΔ 也等于 Z。
κείσθω γὰρ τῷ Ζ ἴσον τὸ ΓΚ. ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΘ τοῦ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ Ζ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ·
因为，设置 ΓK 等于 Z。 由于 AH 是 E 的等倍数，且 ΓΘ 是 Z 的等倍数，而 HB 等于 E，且 KΓ 等于 Z，所以 AB 是 E 的等倍数，且 KΘ 是 Z 的等倍数。 但已设定 AB 是 E 的等倍数，且 ΓΔ 是 Z 的等倍数；所以 KΘ 是 Z 的等倍数，且 ΓΔ 是 Z 的等倍数。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΘ τοῦ Ζ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΚΘ, ΓΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΘ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν.
因此，既然 KΘ, ΓΔ 的每一个都是 Z 的等倍数，所以 KΘ 等于 ΓΔ。 减去公共的 ΓΘ；因此剩余的 KΓ 等于剩余的 ΘΔ。
ἀλλὰ τὸ Ζ τῷ ΚΓ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.
但 Z 等于 KΓ；所以 ΘΔ 也等于 Z。
ὥστε εἰ τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ Ζ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν πολλαπλάσιον ᾖ τὸ ΗΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ Ζ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια·
因此，若 HB 等于 E，则 ΘΔ 也将等于 Z。 同理，我们也可以证明，即使 HB 是 E 的倍数，ΘΔ 也将是 Z 的相同倍数。 因此，若两量为两量的等倍数，且减去的某些部分亦为同两量的等倍数，则剩余部分对原两量或等于原量，或为原量的等倍数。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
§5.prop.7τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.
等量与同量之比相等，同量与等量之比亦相等。
ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τι, ὃ ἔτυχεν, μέγεθος τὸ Γ·
设 A, B 为等量，且 Γ 为其他任意量。
λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Δ, Ε, τοῦ δὲ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β, ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε. ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Ζ. εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Ζ, ὑπερέχει καὶ τὸ Ε τοῦ Ζ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
我说，A, B 中的每一个与 Γ 之比相等，且 Γ 与 A, B 中的每一个之比也相等。 因为，设取 A, B 的等倍数 Δ, E，且取 Γ 的其他任意倍数 Z。 由于 Δ 是 A 的等倍数，且 E 是 B 的等倍数，而 A 等于 B，所以 Δ 也等于 E。 而 Z 是其他任意量。 因此，若 Δ 大于 Z，则 E 也大于 Z；若相等，则相等；若小于，则小于。
καί ἐστι τὰ μὲν Δ, Ε τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Γ.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
且 Δ, E 是 A, B 的等倍数，而 Z 是 Γ 的其他任意倍数；所以，A 与 Γ 之比等于 B 与 Γ 之比。 我说，Γ 与 A, B 中的每一个之比也相等。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ε· ἄλλο δέ τι τὸ Ζ· εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ζ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τοῦ Ε, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
因为，作同样的准备，我们同理可以证明， Δ 等于 E；且 Z 是其他某量；因此，若 Z 大于 Δ，则它也大于 E；若相等，则相等；若小于，则小于。
καί ἐστι τὸ μὲν Ζ τοῦ Γ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α, Β ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Β.
τὰ ἴσα ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.
且 Z 是 Γ 的倍数，而 Δ, E 是 A, B 的其他任意等倍数；所以，Γ 与 A 之比等于 Γ 与 B 之比。 因此，等量与同量之比相等，同量与等量之比亦相等。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται.
系由此显然，若若干量成比例，则它们反过来也成比例。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。