§5.prop.6ἐὰν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.
もし2つの大きさが2つの大きさの同じ倍数であり、引かれたいくつかの大きさもそれら同じものの同じ倍数であるならば、残りの大きさもそれらに対して等しいか、またはそれらの同じ倍数である。
δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τὰ ΑΗ, ΓΘ τῶν αὐτῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια·
なぜなら、2つの大きさ AB, ΓΔ が2つの大きさ E, Z の同じ倍数であり、引かれた AH, ΓΘ もそれら同じ E, Z の同じ倍数であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.
私は言う、残りの HB, ΘΔ も E, Z に対して、等しいか、またはそれらの同じ倍数であると。
ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον.
まず、HB が E に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.
私は言う、ΘΔ も Z に等しいと。
κείσθω γὰρ τῷ Ζ ἴσον τὸ ΓΚ. ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΘ τοῦ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ Ζ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ·
なぜなら、Z に等しい ΓK が置かれたとせよ。 AH は E の、ΓΘ は Z の同じ倍数であり、HB は E に等しく、KΓ は Z に等しいので、したがって AB は E の、KΘ は Z の同じ倍数である。 しかし、AB は E の、ΓΔ は Z の同じ倍数であると仮定されている。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΘ τοῦ Ζ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΚΘ, ΓΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΘ·
したがって、KΘ は Z の、ΓΔ は Z の同じ倍数である。 それゆえ、KΘ, ΓΔ のそれぞれが Z の同じ倍数であるので、したがって KΘ は ΓΔ に等しい。 共通の ΓΘ が引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν.
したがって、残り KΓ は残りの ΘΔ に等しい。
ἀλλὰ τὸ Ζ τῷ ΚΓ ἐστιν ἴσον·
しかし Z は KΓ に等しい。
καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.
ゆえに ΘΔ も Z に等しい。
ὥστε εἰ τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ Ζ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν πολλαπλάσιον ᾖ τὸ ΗΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ Ζ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια·
それゆえ、もし HB が E に等しいならば、ΘΔ も Z に等しいであろう。 同様に、たとえ HB が E の倍数であっても、ΘΔ も Z のそれと同じ倍数であることを示すことができる。 したがって、もし2つの大きさが2つの大きさの同じ倍数であり、引かれたいくつかの大きさもそれらの同じ倍数であるならば、残りの大きさもそれらに対して等しいか、またはそれらの同じ倍数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.7τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.
等しい大きさは同じ大きさに対して同じ比を持ち、同じ大きさも等しい大きさに対して同じ比を持つ。
ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τι, ὃ ἔτυχεν, μέγεθος τὸ Γ·
等しい大きさ A, B と、他の任意の大きさ Γ があるとせよ。
λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Δ, Ε, τοῦ δὲ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β, ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε. ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Ζ. εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Ζ, ὑπερέχει καὶ τὸ Ε τοῦ Ζ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
私は言う、A, B のそれぞれが Γ に対する比は同じであり、かつ Γ が A, B のそれぞれに対する比も同じであると。 なぜなら、A, B の同じ倍数 Δ, E が取られ、Γ の他の任意の倍数 Z が取られたとせよ。 さて、Δ は A の、E は B の同じ倍数であり、A は B に等しいので、したがって Δ も E に等しい。 そして Z は他の任意のものである。 したがって、もし Δ が Z を超えるならば E も Z を超え、等しければ等しく、小さければ小さい。
καί ἐστι τὰ μὲν Δ, Ε τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον·
そして Δ, E は A, B の同じ倍数であり、 Z は Γ の他の任意の倍数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Γ.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
したがって、A の Γ に対する比は、B の Γ に対する比と同じである。 私は言う、Γ が A, B のそれぞれに対する比も同じであると。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ε·
なぜなら、同じものを準備すれば、同様に、 Δ が E に等しいことを示すことができる。
ἄλλο δέ τι τὸ Ζ·
そして Z は他の任意のものである。
εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ζ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τοῦ Ε, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
したがって、もし Z が Δ を超えるならば Z は E も超え、等しければ等しく、小さければ小さい。
καί ἐστι τὸ μὲν Ζ τοῦ Γ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α, Β ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
そして Z は Γ の倍数であり、Δ, E は A, B の他の任意の同じ倍数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Β.
τὰ ἴσα ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.
したがって、Γ の A に対する比は、Γ の B に対する比と同じである。 したがって、等しい大きさは同じ大きさに対して同じ比を持ち、同じ大きさも等しい大きさに対して同じ比を持つ。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται.
系これより、もしあるいくつかの大きさが比例関係にあるならば、それらは逆にしても比例関係にあることは明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。