§5.prop.6ἐὰν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.
만약 두 크기가 두 크기의 동배수이고, 빼낸 어떤 크기들이 그것들의 동배수이면, 남은 크기들도 그것들과 같거나 또는 그것들의 동배수이다.
δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ δύο μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τὰ ΑΗ, ΓΘ τῶν αὐτῶν τῶν Ε, Ζ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια·
왜냐하면 두 크기 AB, ΓΔ가 두 크기 E, Z의 동배수이고, 빼낸 AH, ΓΘ가 같은 크기 E, Z의 동배수라고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὰ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια.
나는 남은 HB, ΘΔ도 E, Z에 대하여 같거나 또는 그것들의 동배수라고 말한다.
ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον.
우선 HB가 E와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.
나는 ΘΔ도 Z와 같다고 말한다.
κείσθω γὰρ τῷ Ζ ἴσον τὸ ΓΚ. ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΗ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΘ τοῦ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΗΒ τῷ Ε, τὸ δὲ ΚΓ τῷ Ζ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΚΘ τοῦ Ζ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ·
왜냐하면 Z와 같은 ΓK를 놓자. AH가 E의 동배수이고 ΓΘ가 Z의 동배수이며, HB는 E와 같고 KΓ는 Z와 같으므로, 그러므로 AB는 E의 동배수이고 KΘ는 Z의 동배수이다. 그러나 AB는 E의 동배수이고 ΓΔ는 Z의 동배수라고 가정되어 있다.
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΘ τοῦ Ζ καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΚΘ, ΓΔ τοῦ Ζ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΘ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΘ·
그러므로 KΘ는 Z의 동배수이고 ΓΔ는 Z의 동배수이다. 그러므로 KΘ, ΓΔ 각각이 Z의 동배수이므로, 그러므로 KΘ는 ΓΔ와 같다. 공통인 ΓΘ를 빼자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΓ λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν.
그러므로 남은 KΓ는 남은 ΘΔ와 같다.
ἀλλὰ τὸ Ζ τῷ ΚΓ ἐστιν ἴσον·
그러나 Z는 KΓ와 같다.
καὶ τὸ ΘΔ ἄρα τῷ Ζ ἴσον ἐστίν.
그러므로 ΘΔ도 Z와 같다.
ὥστε εἰ τὸ ΗΒ τῷ Ε ἴσον ἐστίν, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔσται τῷ Ζ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, κἂν πολλαπλάσιον ᾖ τὸ ΗΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ τοῦ Ζ.
ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ ἀφαιρεθέντα τινὰ τῶν αὐτῶν ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσια, καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοῖς ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσια·
그리하여 만약 HB가 E와 같다면, ΘΔ도 Z와 같을 것이다. 마찬가지로 우리는 HB가 E의 배수일지라도, ΘΔ도 Z의 그만큼의 배수(동배수)가 됨을 보일 것이다. 그러므로 만약 두 크기가 두 크기의 동배수이고, 빼낸 어떤 크기들이 그것들의 동배수이면, 남은 크기들도 그것들과 같거나 또는 그것들의 동배수이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.7τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.
같은 크기들은 같은 크기에 대하여 같은 비를 가지고, 같은 크기도 같은 크기들에 대하여 같은 비를 가진다.
ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ Α, Β, ἄλλο δέ τι, ὃ ἔτυχεν, μέγεθος τὸ Γ·
같은 크기 A, B와 다른 임의의 크기 Γ가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν Α, Β πρὸς τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Δ, Ε, τοῦ δὲ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον τὸ Ζ.
ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ Α καὶ τὸ Ε τοῦ Β, ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Β, ἴσον ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ Ε. ἄλλο δέ, ὃ ἔτυχεν, τὸ Ζ. εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Ζ, ὑπερέχει καὶ τὸ Ε τοῦ Ζ, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
나는 A, B 각각이 Γ에 대하여 가지는 비가 같고, Γ가 A, B 각각에 대하여 가지는 비도 같다고 말한다. 왜냐하면 A, B의 동배수 Δ, E를 취하고, Γ의 다른 임의의 배수 Z를 취했다고 하자. Δ가 A의 동배수이고 E가 B의 동배수이며, A가 B와 같으므로, 그러므로 Δ도 E와 같다. 그리고 Z는 다른 임의의 크기이다. 그러므로 만약 Δ가 Z보다 크면 E도 Z보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
καί ἐστι τὰ μὲν Δ, Ε τῶν Α, Β ἰσάκις πολλαπλάσια, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ ἄλλο, ὃ ἔτυχεν, πολλαπλάσιον·
그리고 Δ, E는 A, B의 동배수이고, Z는 Γ의 다른 임의의 배수이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Γ.
λέγω, ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς ἑκάτερον τῶν Α, Β τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
그러므로 A가 Γ에 대하여 가지는 비는 B가 Γ에 대하여 가지는 비와 같다. 나는 Γ가 A, B 각각에 대하여 가지는 비도 같다고 말한다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ Δ τῷ Ε·
왜냐하면 같은 설정을 하면 마찬가지로 Δ가 E와 같음을 보일 수 있다.
ἄλλο δέ τι τὸ Ζ·
그리고 Z는 다른 임의의 크기이다.
εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Ζ τοῦ Δ, ὑπερέχει καὶ τοῦ Ε, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
그러므로 만약 Z가 Δ보다 크면 E보다도 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
καί ἐστι τὸ μὲν Ζ τοῦ Γ πολλαπλάσιον, τὰ δὲ Δ, Ε τῶν Α, Β ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
그리고 Z는 Γ의 배수이고 Δ, E는 A, B의 다른 임의의 동배수이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Α, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Β.
τὰ ἴσα ἄρα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἴσα.
그러므로 Γ가 A에 대하여 가지는 비는 Γ가 B에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 같은 크기들은 같은 크기에 대하여 같은 비를 가지고, 같은 크기도 같은 크기들에 대하여 같은 비를 가진다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀνάπαλιν ἀνάλογον ἔσται.
따름정리 이로부터 만약 어떤 크기들이 비례하면, 그것들은 거꾸로 해도 비례할 것임이 분명하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.