§5.prop.4ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.
若第一量与第二量之比等于第三量与第四量之比，则第一量与第三量的等倍数对第二量与第四量的等倍数，无论按照任何乘数对应取之，也将具有相同的比。
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ·
因为，设第一量 A 与第二量 B 之比等于第三量 Γ 与第四量 Δ 之比，且取 A, Γ 的等倍数 E, Z，又取 B, Δ 的其他任意等倍数 H, Θ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.
ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ε τοῦ Α, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ, καὶ εἴληπται τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ α καὶ τὸ Λ τοῦ Γ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Λ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
我说， E 与 H 之比等于 Z 与 Θ 之比。 因为，设取 E, Z 的等倍数 K, Λ，又取 H, Θ 的其他任意等倍数 M, N。 因为 E 是 A 的等倍数， Z 是 Γ 的等倍数，且已取 E, Z 的等倍数 K, Λ，所以 K 是 A 的等倍数，且 Λ 是 Γ 的等倍数。 同理，M 也是 B 的等倍数，且 N 也是 Δ 的等倍数。 又因为 A 与 B 之比等于 Γ 与 Δ 之比，且已取 A, Γ 的等倍数 K, Λ，而取 B, Δ 的其他任意等倍数 M, N，所以若 K 大于 M，则 Λ 也大于 N；若相等，则相等；若小于，则小于。
καί ἐστι τὰ μὲν Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ληφθέντα κατάλληλα·
并且 K, Λ 是 E, Z 的等倍数，而 M, N 是 H, Θ 的其他任意等倍数；所以，E 与 H 之比等于 Z 与 Θ 之比。 因此，若第一量与第二量之比等于第三量与第四量之比，则第一量与第三量的等倍数对第二量与第四量的等倍数，无论按照任何乘数对应取之，也将具有相同的比。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
§5.prop.5ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου.
若一量是另一量的等倍数，且减去之量是减去之量的等倍数，则剩余之量也将是剩余之量的等倍数，即等于整体是整体的等倍数。
μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΓΔ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
因为，设量 AB 是量 ΓΔ 的等倍数，且减去之量 AE 是减去之量 ΓΖ 的等倍数。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ὁσαπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΓΗ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ. κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ·
我说，剩余之量 EB 也将是剩余之量 ZΔ 的等倍数，即等于整体 AB 是整体 ΓΔ 的等倍数。 因为，AE 是 ΓΖ 的几倍，就让 EB 成为 ΓΗ 的几倍。 又因为 AE 是 ΓΖ 的等倍数，且 EB 是 ΗΓ 的等倍数，所以 AE 是 ΓΖ 的等倍数，且 AB 是 ΗΖ 的等倍数。 但已设定 AE 是 ΓΖ 的等倍数，且 AB 是 ΓΔ 的等倍数；所以 AB 是 ΗΖ 与 ΓΔ 各自的等倍数。
ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον ἐστίν.
因此 ΗΖ 等于 ΓΔ。 减去公共的 ΓΖ；所以剩余的 ΗΓ 等于剩余的 ZΔ。
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσον δὲ τὸ ΗΓ τῷ ΔΖ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
又因为 AE 是 ΓΖ 的等倍数，且 EB 是 ΗΓ 的等倍数，而 ΗΓ 等于 ΔΖ，所以 AE 是 ΓΖ 的等倍数，且 EB 是 ZΔ 的等倍数。 但已设定 AE 是 ΓΖ 的等倍数，且 AB 是 ΓΔ 的等倍数；所以 EB 是 ZΔ 的等倍数，且 AB 是 ΓΔ 的等倍数。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου·
因此，剩余的 EB 也将是剩余的 ZΔ 的等倍数，即等于整体 AB 是整体 ΓΔ 的等倍数。 因此，若一量是另一量的等倍数，且减去之量是减去之量的等倍数，则剩余之量也将是剩余之量的等倍数，即等于整体是整体的等倍数。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。