§5.prop.4ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.
만약 첫 번째가 두 번째에 대하여 가지는 비가 세 번째가 네 번째에 대하여 가지는 비와 같다면, 첫 번째와 세 번째의 동배수들이 두 번째와 네 번째의 동배수들에 대하여 가지는 비도, 어떤 곱하기에 따라 각각 취해지더라도 같은 비를 가질 것이다.
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ·
왜냐하면 첫 번째인 A가 두 번째인 B에 대하여 가지는 비가 세 번째인 Γ가 네 번째인 Δ에 대하여 가지는 비와 같다고 하고, A, Γ의 동배수인 E, Z를 취하고, B, Δ의 다른 임의의 동배수인 H, Θ를 취했다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.
ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ε τοῦ Α, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ, καὶ εἴληπται τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ α καὶ τὸ Λ τοῦ Γ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Λ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
나는 E가 H에 대하여 가지는 비는 Z가 Θ에 대하여 가지는 비와 같다고 말한다. 왜냐하면 E, Z의 동배수인 K, Λ를 취하고, H, Θ의 다른 임의의 동배수인 M, N을 취했다고 하자. E가 A의 동배수이고, Z가 Γ의 동배수이며, E, Z의 동배수인 K, Λ를 취했으므로, 그러므로 K는 A의 동배수이고 Λ는 Γ의 동배수이다. 같은 이유로, M은 B의 동배수이고 N은 Δ의 동배수이다. 그리고 A가 B에 대하여 가지는 비가 Γ가 Δ에 대하여 가지는 비와 같고, A, Γ의 동배수인 K, Λ를 취했으며, B, Δ의 다른 임의의 동배수인 M, N을 취했으므로, 만약 K가 M보다 크면 Λ도 N보다 크고, 같으면 같고, 작으면 작다.
καί ἐστι τὰ μὲν Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
그리고 K, Λ는 E, Z의 동배수들이고, M, N은 H, Θ의 다른 임의의 동배수들이다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ληφθέντα κατάλληλα·
그러므로 E가 H에 대하여 가지는 비는 Z가 Θ에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 만약 첫 번째가 두 번째에 대하여 가지는 비가 세 번째가 네 번째에 대하여 가지는 비와 같다면, 첫 번째와 세 번째의 동배수들이 두 번째와 네 번째의 동배수들에 대하여 가지는 비도, 어떤 곱하기에 따라 각각 취해지더라도 같은 비를 가질 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.5ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου.
만약 어떤 크기가 다른 크기의 동배수이고, 빼낸 크기가 빼낸 크기의 동배수이면, 남은 크기도 남은 크기의 동배수가 될 것이며, 그것은 전체가 전체의 동배수인 것과 같다.
μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΓΔ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
왜냐하면 크기 AB가 크기 ΓΔ의 동배수라 하고, 빼낸 크기 AE가 빼낸 크기 ΓΖ의 동배수라 하자.
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ὁσαπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΓΗ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ. κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ·
나는 남은 크기 EB도 남은 크기 ZΔ의 동배수가 될 것이며, 그것은 전체 AB가 전체 ΓΔ의 동배수인 것과 같다고 말한다. 왜냐하면 AE가 ΓΖ의 몇 배이든, EB도 ΓΗ의 그만큼의 배수가 되도록 만들자. 그리고 AE가 ΓΖ의 동배수이고 EB가 ΗΓ의 동배수이므로, 그러므로 AE는 ΓΖ의 동배수이고 AB는 ΗΖ의 동배수이다. 그러나 AE는 ΓΖ의 동배수이고 AB는 ΓΔ의 동배수라고 가정되어 있다. 그러므로 AB는 ΗΖ와 ΓΔ 각각의 동배수이다.
ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ·
그러므로 ΗΖ는 ΓΔ와 같다. 공통인 ΓΖ를 빼자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον ἐστίν.
그러므로 남은 ΗΓ는 남은 ZΔ와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσον δὲ τὸ ΗΓ τῷ ΔΖ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
그리고 AE는 ΓΖ의 동배수이고 EB는 ΗΓ의 동배수이며, ΗΓ는 ΔΖ와 같으므로, 그러므로 AE는 ΓΖ의 동배수이고 EB는 ZΔ의 동배수이다. 그러나 AE는 ΓΖ의 동배수이고 AB는 ΓΔ의 동배수라고 가정되어 있다.
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου·
그러므로 EB는 ZΔ의 동배수이고 AB는 ΓΔ의 동배수이다. 그러므로 남은 EB도 남은 ZΔ의 동배수가 될 것이며, 그것은 전체 AB가 전체 ΓΔ의 동배수인 것과 같다. 그러므로 만약 어떤 크기가 다른 크기의 동배수이고, 빼낸 크기가 빼낸 크기의 동배수이면, 남은 크기도 남은 크기의 동배수가 될 것이며, 그것은 전체가 전체의 동배수이고 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.