§5.prop.3ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου, καὶ διʼ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου.
若第一量是第二量的等倍数，且第三量是第四量的等倍数，且对第一量与第三量取等倍数，那么同样地，在所取的量中，每一个也将分别是第二量和第四量的等倍数。
πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Γ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΕΖ, ΗΘ·
因为，设第一量 A 是第二量 B 的等倍数，并且第三量 Γ 是第四量 Δ 的等倍数，并且对 A, Γ 取等倍数 EZ, ΗΘ。
λέγω, ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΕΖ ἴσα τῷ Α, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΕΖ εἰς τὰ τῷ Α μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ, ΚΖ, τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΗΛ, ΛΘ·
我说， EZ 是 B 的等倍数，且 ΗΘ 是 Δ 的等倍数。 因为 EZ 是 A 的等倍数，且 ΗΘ 是 Γ 的等倍数，所以，在 EZ 中等于 A 的个数，与在 ΗΘ 中等于 Γ 的个数相同。 设 EZ 被分割为等于 A 的量 EK, KZ，而 ΗΘ 被分割为等于 Γ 的量 ΗΛ, ΛΘ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΕΚ, ΚΖ τῷ πλήθει τῶν ΗΛ, ΛΘ. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΚ τῷ Α, τὸ δὲ ΗΛ τῷ Γ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΚ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ. ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ΕΚ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ Δ, ἔστι δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΕΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ διʼ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου·
那么 EK, KZ 的个数将等于 ΗΛ, ΛΘ 的个数。 又因为 A 是 B 的等倍数，且 Γ 是 Δ 的等倍数，而 EK 等于 A，ΗΛ 等于 Γ，所以 EK 是 B 的等倍数，且 ΗΛ 是 Δ 的等倍数。 同理，KZ 也是 B 的等倍数，且 ΛΘ 也是 Δ 的等倍数。 因为，第一量 EK 是第二量 B 的等倍数，且第三量 ΗΛ 是第四量 Δ 的等倍数，而第五量 KZ 也是第二量 B 的等倍数，且第六量 ΛΘ 是第四量 Δ 的等倍数，所以，第一与第五相加之和 EZ 也是第二量 B 的等倍数，且第三与第六相加之和 ΗΘ 也是第四量 Δ 的等倍数。 因此，若第一量是第二量的等倍数，且第三量是第四量的等倍数，且对第一量与第三量取等倍数，那么同样地，在所取的量中，每一个也将分别是第二量和第四量的等倍数。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。