§5.prop.4ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ληφθέντα κατάλληλα.
もし第一が第二に対して同じ比を持ち、かつ第三が第四に対して［同じ比を持つ］ならば、第一と第三の同じ倍数も、第二と第四の同じ倍数に対して、どのように乗数［倍数関係］に従ってそれぞれ取られたとしても、同じ比を持つであろう。
πρῶτον γὰρ τὸ Α πρὸς δεύτερον τὸ Β τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ Γ πρὸς τέταρτον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Ε, Ζ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ·
なぜなら、第一の A が第二の B に対して同じ比を持ち、かつ第三の Γ が第四の Δ に対して［同じ比を持つ］とし、A, Γ の同じ倍数 E, Z が取られ、B, Δ の他の任意の同じ倍数 H, Θ が取られたとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.
εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν.
ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ μὲν Ε τοῦ Α, τὸ δὲ Ζ τοῦ Γ, καὶ εἴληπται τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Κ τοῦ α καὶ τὸ Λ τοῦ Γ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Μ τοῦ Β καὶ τὸ Ν τοῦ Λ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, καὶ εἴληπται τῶν μὲν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κ, Λ, τῶν δὲ Β, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν, εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Κ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Λ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
私は言う、 E が H に対する比は、Z が Θ に対する比と同じである（すなわち E: H = Z: Θ）と。 なぜなら、E, Z の同じ倍数 K, Λ が取られ、H, Θ の他の任意の同じ倍数 M, N が取られたとせよ。 E は A の同じ倍数であり、 Z は Γ の［同じ倍数］であり、E, Z の同じ倍数 K, Λ が取られているので、したがって K は A の、そして Λ は Γ の同じ倍数である。 同じ理由で、M は B の、そして N は Δ の同じ倍数である。 そして、A の B に対する比は Γ の Δ に対する比と同じであり、A, Γ の同じ倍数 K, Λ が取られ、B, Δ の他の任意の同じ倍数 M, N が取られているので、したがってもし K が M を超えるならば Λ も N を超え、等しければ等しく、小さければ小さい。
καί ἐστι τὰ μὲν Κ, Λ τῶν Ε, Ζ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Μ, Ν τῶν Η, Θ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια·
そして K, Λ は E, Z の同じ倍数であり、M, N は H, Θ の他の任意の同じ倍数である。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Η, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Θ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καθʼ ὁποιονοῦν πολλαπλασιασμὸν ληφθέντα κατάλληλα·
したがって、E の H に対する比は、Z の Θ に対する比と同じである。 したがって、もし第一が第二に対して同じ比を持ち、かつ第三が第四に対して［同じ比を持つ］ならば、第一と第三の同じ倍数も、第二と第四の同じ倍数に対して、どのように乗数に従ってそれぞれ取られたとしても、同じ比を持つであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.5ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ὅλον τοῦ ὅλου.
もしある大きさが別の大きさの同じ倍数であり、引かれたものが引かれたものの［同じ倍数］であるならば、残りも残りの同じ倍数となり、それは全体が全体に対するのと等しい倍数である。
μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΓΔ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ·
なぜなら、大きさ AB が大きさ ΓΔ の同じ倍数であり、引かれた AE が引かれた ΓΖ の［同じ倍数］であるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ὁσαπλάσιον γάρ ἐστι τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ, τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΓΗ.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΗΖ. κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ ἑκατέρου τῶν ΗΖ, ΓΔ·
私は言う、残り EB も残りの ZΔ の同じ倍数であり、それは全体 AB が全体 ΓΔ に対するのと等しい倍数であると。 なぜなら、AE が ΓΖ の何倍であっても、EB も ΓΗ のそれと同じ倍数であるようにせよ。 そして、AE が ΓΖ の同じ倍数であり、かつ EB が ΗΓ の同じ倍数であるので、したがって AE は ΓΖ の、そして AB は ΗΖ の同じ倍数である。 しかし、AE が ΓΖ の、そして AB が ΓΔ の同じ倍数であると仮定されている。 したがって、AB は ΗΖ, ΓΔ のそれぞれと同じ倍数である。
ἴσον ἄρα τὸ ΗΖ τῷ ΓΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΖ·
ゆえに ΗΖ は ΓΔ に等しい。 共通の ΓΖ が引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἴσον ἐστίν.
したがって、残り ΗΓ は残りの ZΔ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΗΓ, ἴσον δὲ τὸ ΗΓ τῷ ΔΖ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ. ἰσάκις δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ ΑΕ τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
そして、AE は ΓΖ の、そして EB は ΗΓ の同じ倍数であり、さらに ΗΓ は ΔΖ に等しいので、したがって AE は ΓΖ の、そして EB は ZΔ の同じ倍数である。 しかし、AE は ΓΖ の、そして AB は ΓΔ の同じ倍数であると仮定されている。
ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΒ τοῦ ΖΔ καὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον, ὅπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθέντος, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ λοιποῦ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ ὅλον τοῦ ὅλου·
したがって、EB は ZΔ の、そして AB は ΓΔ の同じ倍数である。 したがって、残り EB も残り ZΔ の同じ倍数であり、それは全体 AB が全体 ΓΔ に対するのと等しい倍数である。 したがって、もしある大きさが別の大きさの同じ倍数であり、引かれたものが引かれたものの［同じ倍数］であるならば、残りも残りの同じ倍数となり、それは全体が全体に対するのと等しい倍数である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。