§5.prop.3ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου, καὶ διʼ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου.
만약 첫 번째가 두 번째의 동배수이고 세 번째가 네 번째의 동배수이며, 첫 번째와 세 번째의 동배수들을 취한다면, 똑같이, 취해진 것들 각각은 다른 것 각각에 대하여, 하나는 두 번째 것의, 다른 하나는 네 번째 것의 동배수가 될 것이다.
πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Γ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΕΖ, ΗΘ·
왜냐하면 첫 번째인 A가 두 번째인 B의 동배수이고 세 번째인 Γ가 네 번째인 Δ의 동배수라 하고, A, Γ의 동배수인 EZ, ΗΘ를 취했다고 하자.
λέγω, ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΕΖ ἴσα τῷ Α, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΕΖ εἰς τὰ τῷ Α μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ, ΚΖ, τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΗΛ, ΛΘ·
나는 EZ가 B의 동배수이고 ΗΘ가 Δ의 동배수라고 말한다. 왜냐하면 EZ가 A의 동배수이고 ΗΘ가 Γ의 동배수이므로, EZ 안에 있는 A와 같은 것의 개수는 ΗΘ 안에 있는 Γ와 같은 것의 개수와 같다. EZ를 A와 같은 크기들인 EK, KZ로 분할하고, ΗΘ를 Γ와 같은 크기들인 ΗΛ, ΛΘ로 분할하자.
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΕΚ, ΚΖ τῷ πλήθει τῶν ΗΛ, ΛΘ. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΚ τῷ Α, τὸ δὲ ΗΛ τῷ Γ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΚ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ. ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ΕΚ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ Δ, ἔστι δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΕΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ διʼ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου·
그러면 EK, KZ의 개수는 ΗΛ, ΛΘ의 개수와 같을 것이다. 그리고 A가 B의 동배수이고 Γ가 Δ의 동배수이며, EK는 A와 같고 ΗΛ는 Γ와 같으므로, EK는 B의 동배수이고 ΗΛ는 Δ의 동배수이다. 같은 이유로, KZ도 B의 동배수이고 ΛΘ도 Δ의 동배수이다. 그러므로 첫 번째인 EK가 두 번째인 B의 동배수이고 세 번째인 ΗΛ가 네 번째인 Δ의 동배수이며, 다섯 번째인 KZ도 두 번째인 B의 동배수이고 여섯 번째인 ΛΘ도 네 번째인 Δ의 동배수이므로, 첫 번째와 다섯 번째를 합한 EZ도 두 번째인 B의 동배수가 될 것이고, 세 번째와 여섯 번째를 합한 ΗΘ도 네 번째인 Δ의 동배수가 될 것이다. 그러므로 만약 첫 번째가 두 번째의 동배수이고 세 번째가 네 번째의 동배수이며, 첫 번째와 세 번째의 동배수들을 취한다면, 똑같이, 취해진 것들 각각은 다른 것 각각에 대하여, 하나는 두 번째 것의, 다른 하나는 네 번째 것의 동배수가 될 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.