§5.prop.3ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ τε πρώτου καὶ τρίτου, καὶ διʼ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου.
もし第一が第二の同じ倍数であり、かつ第三が第四の同じ倍数であり、第一と第三の同じ倍数が取られるならば、同様に、取られたもののそれぞれは、一方は第二の、他方は第四の同じ倍数となるであろう。
πρῶτον γὰρ τὸ Α δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ Γ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ εἰλήφθω τῶν Α, Γ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ ΕΖ, ΗΘ·
なぜなら、第一の A が第二の B の同じ倍数であり、かつ第三の Γ が第四の Δ の同じ倍数であるとし、A, Γ の同じ倍数 EZ, ΗΘ が取られたとせよ。
λέγω, ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Δ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΖ τοῦ Α καὶ τὸ ΗΘ τοῦ Γ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΕΖ ἴσα τῷ Α, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΗΘ ἴσα τῷ Γ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΕΖ εἰς τὰ τῷ Α μεγέθη ἴσα τὰ ΕΚ, ΚΖ, τὸ δὲ ΗΘ εἰς τὰ τῷ Γ ἴσα τὰ ΗΛ, ΛΘ·
私は言う、 EZ は B の、そして ΗΘ は Δ の同じ倍数であると。 なぜなら、EZ が A の、また ΗΘ が Γ の同じ倍数であるので、EZ の中にある A に等しいものの個数は、ΗΘ の中にある Γ に等しいものの個数と同じである。 EZ を A に等しい量 EK, KZ に、ΗΘ を Γ に等しい量 ΗΛ, ΛΘ に分割せよ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΕΚ, ΚΖ τῷ πλήθει τῶν ΗΛ, ΛΘ. καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Α τοῦ Β καὶ τὸ Γ τοῦ Δ, ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΚ τῷ Α, τὸ δὲ ΗΛ τῷ Γ, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΕΚ τοῦ Β καὶ τὸ ΗΛ τοῦ Δ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ Β καὶ τὸ ΛΘ τοῦ Δ. ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ΕΚ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ Δ, ἔστι δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΛΘ τετάρτου τοῦ Δ, καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΕΖ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΗΘ τετάρτου τοῦ Δ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ληφθῇ δὲ τοῦ πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις πολλαπλάσια, καὶ διʼ ἴσου τῶν ληφθέντων ἑκάτερον ἑκατέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον τὸ μὲν τοῦ δευτέρου τὸ δὲ τοῦ τετάρτου·
すると、EK, KZ の個数は ΗΛ, ΛΘ の個数と等しくなる。 そして A が B の、また Γ が Δ の同じ倍数であり、かつ EK は A に、ΗΛ は Γ に等しいので、EK は B の、そして ΗΛ は Δ の同じ倍数である。 同じ理由で、KZ も B の、そして ΛΘ も Δ の同じ倍数である。 それゆえ、第一の EK が第二の B の同じ倍数であり、かつ第三の ΗΛ が第四の Δ の同じ倍数であり、さらに第五の KZ も第二の B の同じ倍数であり、かつ第六の ΛΘ も第四の Δ の同じ倍数であるので、第一と第五を合わせた EZ も第二の B の同じ倍数となり、かつ第三と第六を合わせた ΗΘ も第四の Δ の同じ倍数である。 したがって、もし第一が第二の同じ倍数であり、かつ第三が第四の同じ倍数であり、第一と第三の同じ倍数が取られるならば、同様に、取られたもののそれぞれは、一方は第二の、他方は第四の同じ倍数となるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。