§5.prop.1ἐὰν ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων.
若有任意个数的量分别是同样个数的另一些量的等倍数，那么其中一个量对另一个量是多少倍，所有这些量的和对所有对应的另一些量的和也将是多少倍。
ἔστω ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ ὁποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν Ε, Ζ ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον·
设任意个数的量 AB, ΓΔ 分别是同样个数的另一些量 E, Z 的等倍数。
λέγω, ὅτι ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Ε καὶ τὸ ΓΔ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγέθη ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΓΔ ἴσα τῷ Ζ. διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Ε μεγέθη ἴσα τὰ ΑΗ, ΗΒ, τὸ δὲ ΓΔ εἰς τὰ τῷ Ζ ἴσα τὰ ΓΘ, ΘΔ·
我说，AB 对 E 是多少倍，AB, ΓΔ 对 E, Z 也将是多少倍。 因为 AB 是 E 的等倍数，并且 ΓΔ 是 Z 的等倍数，所以 AB 中等于 E 的量的个数，与 ΓΔ 中等于 Z 的量的个数相同。 设 AB 被分割为等于 E 的量 AH, HB，而 ΓΔ 被分割为等于 Z 的量 ΓΘ, ΘΔ。
ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, ἴσον ἄρα τὸ ΑΗ τῷ Ε, καὶ τὰ ΑΗ, ΓΘ τοῖς Ε, Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἴσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τῷ ε, καὶ τὰ ΗΒ, ΘΔ τοῖς Ε, Ζ·
那么 AH, HB 的个数将等于 ΓΘ, ΘΔ 的个数。 又因为 AH 等于 E，而 ΓΘ 等于 Z，所以 AH, ΓΘ 的和等于 E, Z 的和。 同理，HB 等于 E，而 HB, ΘΔ 的和等于 E, Z 的和。
ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Ε, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς ΑΒ, ΓΔ ἴσα τοῖς Ε, Ζ·
所以，AB 中等于 E 的量有多少个，AB, ΓΔ 中等于 E, Z 的和的量也有多少个。
ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ ΑΒ, ΓΔ τῶν Ε, Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὁποσαοῦν μεγέθη ὁποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος ἕκαστον ἑκάστου ἰσάκις πολλαπλάσιον, ὁσαπλάσιόν ἐστιν ἓν τῶν μεγεθῶν ἑνός, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων·
所以，AB 是 E 的多少倍，AB, ΓΔ 也是 E, Z 的多少倍。 因此，若有任意个数的量分别是同样个数的另一些量的等倍数，那么其中一个量对另一个量是多少倍，所有这些量的和对所有对应的另一些量的和也将是多少倍。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。
§5.prop.2ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου.
若第一量是第二量的等倍数，且第三量是第四量的等倍数，而第五量也是第二量的等倍数，且第六量是第四量的等倍数，则第一与第五相加之和也是第二量的等倍数，且第三与第六相加之和也是第四量的等倍数。
πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ τετάρτου τοῦ Ζ, ἔστω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ τετάρτου τοῦ Ζ·
因为设第一量 AB 是第二量 Γ 的等倍数，且第三量 ΔΕ 是第四量 Z 的等倍数，而第五量 BH 也是第二量 Γ 的等倍数，且第六量 EΘ 是第四量 Z 的等倍数。
λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.
ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ τοῦ Γ καὶ τὸ ΔΕ τοῦ Ζ, ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔΕ ἴσα τῷ Ζ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΕΘ ἴσα τῷ Ζ·
我说，第一与第五相加之和 AH 也将是第二量 Γ 的等倍数，且第三与第六相加之和 ΔΘ 也将是第四量 Z 的等倍数。 因为 AB 是 Γ 的等倍数，而 ΔΕ 是 Z 的等倍数，所以 AB 中等于 Γ 的量的个数，与 ΔΕ 中等于 Z 的量的个数相同。 同理，在 BH 中等于 Γ 的个数，也与在 EΘ 中等于 Z 的个数相同。
ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν ὅλῳ τῷ ΑΗ ἴσα τῷ Γ, τοσαῦτα καὶ ἐν ὅλῳ τῷ ΔΘ ἴσα τῷ Ζ·
所以，在全体 AH 中等于 Γ 的个数，与在全体 ΔΘ 中等于 Z 的个数相同。
ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ τοῦ Γ, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Ζ. καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ δευτέρου τοῦ Γ ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου τοῦ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον δευτέρου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τετάρτου, ᾖ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τετάρτου·
所以，AH 对 Γ 是多少倍，ΔΘ 对 Z 也将是多少倍。 因此，第一与第五相加之和 AH 是第二量 Γ 的等倍数，且第三与第六相加之和 ΔΘ 是第四量 Z 的等倍数。 因此，若第一量是第二量的等倍数，且第三量是第四量的等倍数，而第五量也是第二量的等倍数，且第六量是第四量的等倍数，则第一与第五相加之和也是第二量的等倍数，且第三与第六相加之和也是第四量的等倍数。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。