§5.prop.24ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον.
如果第一个量对第二个量有相同的比，正如第三个量对第四个量，并且第五个量对第二个量也有相同的比，正如第六个量对第四个量，那么合成的第一个与第五个量对第二个量也将有相同的比，正如第三个与第六个量对第四个量。
πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ, ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ· λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται·
因为设第一个量 AB 对第二个量 Γ 有相同的比，正如第三个量 ΔE 对第四个量 Z，且设第五个量 BH 对第二个量 Γ 也有相同的比，正如第六个量 EΘ 对第四个量 Z；我说，合成的第一个与第五个量 AH 对第二个量 Γ 也将有相同的比，正如第三个与第六个量 ΔΘ 对第四个量 Z。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΘΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因为既然正如 BH 对 Γ 正如 EΘ 对 Z，反比例地，正如 Γ 对 BH 正如 Z 对 EΘ。 因此，既然正如 AB 对 Γ 正如 ΔE 对 Z，而正如 Γ 对 BH 正如 Z 对 EΘ，等比地，正如 AB 对 BH 正如 ΔE 对 EΘ。 并且既然当分离的量成比例时，它们合成后也将成比例，因此，正如 AH 对 HB 正如 ΔΘ 对 ΘE。 然而正如 BH 对 Γ 正如 EΘ 对 Z；因此，等比地，正如 AH 对 Γ 正如 ΔΘ 对 Z。 因此，如果第一个量对第二个量有相同的比，正如第三个量对第四个量，并且第五个量对第二个量也有相同的比，正如第六个量对第四个量，那么合成的第一个与第五个量对第二个量也将有相同的比，正如第三个与第六个量对第四个量；这就是所要证明的。
§5.prop.25ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν.
如果四个量成比例，则其中最大者与最小者之和大于其余两者之和。
ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἔστω δὲ μέγιστον μὲν αὐτῶν τὸ ΑΒ, ἐλάχιστον δὲ τὸ Ζ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, Ζ τῶν ΓΔ, Ε μείζονά ἐστιν.
设四个量 AB, ΓΔ, E, Z 成比例，正如 AB 对 ΓΔ 正如 E 对 Z，并设其中最大者为 AB，最小者为 Z；我说，AB 与 Z 大于 ΓΔ 与 E。
κείσθω γὰρ τῷ μὲν Ε ἴσον τὸ ΑΗ, τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ.
ἐπεὶ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν Ε τῷ ΑΗ, τὸ δὲ Ζ τῷ ΓΘ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΘ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ, ε.
因为设取 AH 等于 E，且取 ΓΘ 等于 Z。 既然正如 AB 对 ΓΔ 正如 E 对 Z，且 E 等于 AH，Z 等于 ΓΘ，因此，正如 AB 对 ΓΔ 正如 AH 对 ΓΘ。 并且既然正如整体 AB 对整体 ΓΔ，正如减去的 AH 对减去的 ΓΘ，因此，剩下的 HB 对剩下的 ΘΔ 也将正如整体 AB 对整体 ΓΔ。 而 AB 大于 ΓΔ；因此 HB 也大于 ΘΔ。 并且既然 AH 等于 E，而 ΓΘ 等于 Z，因此 AH 与 Z 等于 ΓΘ 与 E。
καὶ ἐὰν τῶν ΗΒ, ΘΔ ἀνίσων ὄντων καὶ μείζονος τοῦ ΗΒ τῷ μὲν ΗΒ προστεθῇ τὰ ΑΗ, Ζ, τῷ δὲ ΘΔ προστεθῇ τὰ ΓΘ, Ε, συνάγεται τὰ ΑΒ, Ζ μείζονα τῶν ΓΔ, Ε.
ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον αὐτῶν καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
并且由于 HB 与 ΘΔ 不等，且 HB 较大，如果将 AH 与 Z 加到 HB 上，而将 ΓΘ 与 E 加到 ΘΔ 上，则得出结论：AB 与 Z 大于 ΓΔ 与 E。 因此，如果四个量成比例，则其中最大者与最小者之和大于其余两者之和；这就是所要证明的。