§5.prop.24ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον.
もし第1の大きさが第2に対して同じ比を持ち、第3が第4に対してそうであり、さらにまた第5が第2に対して同じ比を持ち、第6が第4に対してそうであるならば、第1と第5を合成したものも第2に対して同じ比を持ち、第3と第6も第4に対してそうであるだろう。
πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ, ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ·
なぜなら、第1の ΑΒ は第2の Γ に対して同じ比を持ち、第3の ΔΕ は第4の Ζ に対してそうであり、さらにまた第5の ΒΗ は第2の Γ に対して同じ比を持ち、第6の ΕΘ は第4の Ζ に対してそうであるとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται·
私は言う、第1と第5を合成した ΑΗ も第2の Γ に対して同じ比を持ち、第3と第6を合成した ΔΘ も第4の Ζ に対してそうであるだろうと。
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΘΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ·
なぜなら、ΒΗ の Γ に対する比は ΕΘ の Ζ に対する比と同じであるから、逆比例によって、Γ の ΒΗ に対する比は Ζ の ΕΘ に対する比と同じである。 それゆえ、ΑΒ の Γ に対する比は ΔΕ の Ζ に対する比と同じであり、Γ の ΒΗ に対する比は Ζ の ΕΘ に対する比と同じであるから、等比によって、ΑΒ の ΒΗ に対する比は ΔΕ の ΕΘ に対する比と同じである。 そして、分離された大きさが比例しているならば、合成されたものも比例するであろうから、したがって、ΑΗ の ΗΒ に対する比は ΔΘ の ΘΕ に対する比と同じである。 ところで、ΒΗ の Γ に対する比は ΕΘ の Ζ に対する比と同じであった。
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον·
したがって等比によって、ΑΗ の Γ に対する比は ΔΘ の Ζ に対する比と同じである。 したがって、もし第1の大きさが第2に対して同じ比を持ち、第3が第4に対してそうであり、さらにまた第5が第2に対して同じ比を持ち、第6が第4に対してそうであるならば、第1と第5を合成したものも第2に対して同じ比を持ち、第3と第6も第4に対してそうであるだろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§5.prop.25ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν.
四つの大きさが比例しているならば、それらのうちの最大のものと最小のものを合わせたものは、残りの二つを合わせたものより大きい。
ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἔστω δὲ μέγιστον μὲν αὐτῶν τὸ ΑΒ, ἐλάχιστον δὲ τὸ Ζ·
四つの大きさ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ が比例しており、ΑΒ の ΓΔ に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであるとし、それらのうち最大のものを ΑΒ、最小のものを Ζ とせよ。
λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, Ζ τῶν ΓΔ, Ε μείζονά ἐστιν.
私は言う、ΑΒ と Ζ は ΓΔ と Ε より大きいと。
κείσθω γὰρ τῷ μὲν Ε ἴσον τὸ ΑΗ, τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ.
ἐπεὶ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν Ε τῷ ΑΗ, τὸ δὲ Ζ τῷ ΓΘ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΘ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
実際、Ε に等しい ΑΗ が置かれ、Ζ に等しい ΓΘ が置かれるとせよ。 ΑΒ の ΓΔ に対する比は Ε の Ζ に対する比と同じであり、Ε は ΑΗ に等しく、Ζ は ΓΘ に等しいから、したがって、ΑΒ の ΓΔ に対する比は ΑΗ の ΓΘ に対する比と同じである。 そして、全体である ΑΒ の全体である ΓΔ に対する比は、差し引かれた ΑΗ の差し引かれた ΓΘ に対する比と同じであるから、したがって残りの ΗΒ の残りの ΘΔ に対する比も、全体である ΑΒ の全体である ΓΔ に対する比と同じであるだろう。 ところで、ΑΒ は ΓΔ より大きい。
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ, ε.
したがってまた、ΗΒ も ΘΔ より大きい。 そして、ΑΗ は Ε に等しく、ΓΘ は Ζ に等しいから、したがって ΑΗ と Ζ は ΓΘ と Ε に等しい。
καὶ ἐὰν τῶν ΗΒ, ΘΔ ἀνίσων ὄντων καὶ μείζονος τοῦ ΗΒ τῷ μὲν ΗΒ προστεθῇ τὰ ΑΗ, Ζ, τῷ δὲ ΘΔ προστεθῇ τὰ ΓΘ, Ε, συνάγεται τὰ ΑΒ, Ζ μείζονα τῶν ΓΔ, Ε.
ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον αὐτῶν καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν·
そして、ΗΒ と ΘΔ が不等であり、ΗΒ の方が大きいとき、ΗΒ に ΑΗ と Ζ が加えられ、ΘΔ に ΓΘ と Ε が加えられるならば、結果として ΑΒ と Ζ は ΓΔ と Ε より大きくなる。 したがって、もし四つの大きさが比例しているならば、それらのうちの最大のものと最小のものは残りの二つより大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。