§5.prop.23ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται.
如果有三个量，以及与它们个数相等的另外三个量，两两相比且比例相同，且它们的比例是乱了顺序的，那么它们在等比中也将比例相同。
ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τὰ Δ, Ε, Ζ, ἔστω δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.
εἰλήφθω τῶν μὲν Α, Β, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Η, Θ, Κ, τῶν δὲ Γ, Ε, Ζ ἄλλα, ἃ ἔτυχεν, ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Λ, Μ, Ν.
καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια τὰ Η, Θ τῶν Α, Β, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Η πρὸς τὸ Θ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν· καί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ·
设三个量为 A, B, Γ，以及与它们个数相等的另外三个量为 Δ, E, Z，两两相比且比例相同，且设它们的比例是乱了顺序的，正如 A 对 B 正如 E 对 Z，而 B 对 Γ 正如 Δ 对 E；我说，正如 A 对 Γ 正如 Δ 对 Z。 设取 A, B, Δ 的等倍的量为 H, Θ, K，而取 Γ, E, Z 的其他任意等倍的量为 Λ, M, N。 并且，既然 H, Θ 是 A, B 的等倍的量，且部分对同样倍数的量有相同的比，因此，正如 A 对 B 正如 H 对 Θ。 由于同样的原因，正如 E 对 Z 正如 M 对 N；而正如 A 对 B 正如 E 对 Z；因此，正如 H 对 Θ 正如 M 对 N。
καὶ ὡς ἄρα τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ δ πρὸς τὸ Ε, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. καὶ ἐπεὶ τὰ Θ, Κ τῶν Β, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια, τὰ δὲ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ. ἀλλʼ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε· καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Ε. πάλιν, ἐπεὶ τὰ Λ, Μ τῶν Γ, Ε ἰσάκις ἐστι πολλαπλάσια, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ. ἀλλʼ ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ Ε, οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ Κ· καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ, οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Θ πρὸς τὸ Λ, τὸ Κ πρὸς τὸ Μ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς τὸ Η πρὸς τὸ Θ, οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ Ν. ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ Η, Θ, Λ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Κ, Μ, Ν σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καί ἐστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ ἀναλογία, διʼ ἴσου ἄρα, εἰ ὑπερέχει τὸ Η τοῦ Λ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν, καὶ εἰ ἴσον, ἴσον, καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον.
并且，既然正如 B 对 Γ 正如 Δ 对 E，交互地，正如 B 对 Δ 正如 Γ 对 E。 并且，既然 Θ, K 是 B, Δ 的等倍的量，且部分对等倍的量有相同的比，因此，正如 B 对 Δ 正如 Θ 对 K。 然而正如 B 对 Δ 正如 Γ 对 E；因此，正如 Θ 对 K 正如 Γ 对 E。 再者，既然 Λ, M 是 Γ, E 的等倍的量，因此，正如 Γ 对 E 正如 Λ 对 M。 然而正如 Γ 对 E 正如 Θ 对 K；因此，正如 Θ 对 K 正如 Λ 对 M，且交互地，正如 Θ 对 Λ 正如 K 对 M。 而正如 H 对 Θ 正如 M 对 N 也已被证明。 因此，既然有三个量 H, Θ, Λ，以及与它们个数相等的另外三个量 K, M, N，两两相比且比例相同，且它们的比例是乱了顺序的，那么在等比中，如果 H 超过 Λ，则 K 也超过 N，若相等则相等，若小于则小于。
καί ἐστι τὰ μὲν Η, Κ τῶν Α, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ Λ, Ν τῶν Γ, Ζ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ᾖ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία, καὶ διʼ ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
并且 H, K 是 A, Δ 的等倍的量，而 Λ, N 是 Γ, Z 的等倍的量。 因此，正如 A 对 Γ 正如 Δ 对 Z。 因此，如果有三个量，以及与它们个数相等的另外三个量，两两相比且比例相同，且它们的比例是乱了顺序的，那么它们在等比中也将比例相同；这就是所要证明的。