§5.prop.24ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον.
만일 첫 번째 크기가 두 번째 크기에 대하여 가지는 비가 세 번째 크기가 네 번째 크기에 대하여 가지는 비와 같고, 다섯 번째 크기가 두 번째 크기에 대하여 가지는 비가 여섯 번째 크기가 네 번째 크기에 대하여 가지는 비와 같다면, 첫 번째와 다섯 번째를 합한 것도 두 번째에 대하여 같은 비를 가질 것이며, 세 번째와 여섯 번째를 합한 것도 네 번째에 대하여 그러할 것이다.
πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον τὸ ΔΕ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ, ἐχέτω δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΒΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον τὸ ΕΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ·
왜냐하면 첫 번째 AB가 두 번째 Γ에 대하여 가지는 비가 세 번째 ΔE가 네 번째 Z에 대하여 가지는 비와 같다고 하고, 다섯 번째 BH가 두 번째 Γ에 대하여 가지는 비가 여섯 번째 EΘ 가 네 번째 Z에 대하여 가지는 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον τὸ ΑΗ πρὸς δεύτερον τὸ Γ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ πρὸς τέταρτον τὸ Ζ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ, ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ Ζ, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ ΕΘ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΗ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται·
나는 첫 번째와 다섯 번째를 합한 AH도 두 번째 Γ에 대하여 같은 비를 가질 것이며, 세 번째와 여섯 번째를 합한 ΔΘ도 네 번째 Z에 대하여 그러할 것이라고 말한다.
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ ΘΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΕΘ πρὸς τὸ Ζ·
왜냐하면 BH가 Γ에 대하여 가지는 비는 EΘ가 Z에 대하여 가지는 비와 같으므로, 역비례에 의하여, Γ가 BH에 대하여 가지는 비는 Z가 EΘ에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 AB가 Γ에 대하여 가지는 비는 ΔE가 Z에 대하여 가지는 비와 같고, Γ가 BH에 대하여 가지는 비는 Z가 EΘ에 대하여 가지는 비와 같으므로, 등비에 의하여, AB가 BH에 대하여 가지는 비는 ΔE가 EΘ에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 분리된 크기들이 비례하면 합성된 것들도 비례할 것이므로, 따라서 AH가 HB에 대하여 가지는 비는 ΔΘ가 ΘE에 대하여 가지는 비와 같다. 그런데 BH가 Γ에 대하여 가지는 비는 EΘ가 Z에 대하여 가지는 비와 같았다.
διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ ΔΘ πρὸς τὸ Ζ.
ἐὰν ἄρα πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, ἔχῃ δὲ καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον·
그러므로 등비에 의하여, AH가 Γ에 대하여 가지는 비는 ΔΘ가 Z에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 만일 첫 번째 크기가 두 번째 크기에 대하여 가지는 비가 세 번째 크기가 네 번째 크기에 대하여 가지는 비와 같고, 다섯 번째 크기가 두 번째 크기에 대하여 가지는 비가 여섯 번째 크기가 네 번째 크기에 대하여 가지는 비와 같다면, 첫 번째와 다섯 번째를 합한 것도 두 번째에 대하여 같은 비를 가질 것이며, 세 번째와 여섯 번째를 합한 것도 네 번째에 대하여 그러할 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.
§5.prop.25ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν.
만일 네 크기가 비례한다면, 그들 중 가장 큰 것과 가장 작은 것을 합한 것은 남은 둘을 합한 것보다 크다.
ἔστω τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, Ζ, ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἔστω δὲ μέγιστον μὲν αὐτῶν τὸ ΑΒ, ἐλάχιστον δὲ τὸ Ζ·
네 크기 AB, ΓΔ, E, Z가 비례하여, AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같다고 하고, 그들 중 가장 큰 것을 AB, 가장 작은 것을 Z라 하자.
λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, Ζ τῶν ΓΔ, Ε μείζονά ἐστιν.
나는 AB와 Z가 ΓΔ와 E보다 크다고 말한다.
κείσθω γὰρ τῷ μὲν Ε ἴσον τὸ ΑΗ, τῷ δὲ Ζ ἴσον τὸ ΓΘ.
ἐπεὶ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, ἴσον δὲ τὸ μὲν Ε τῷ ΑΗ, τὸ δὲ Ζ τῷ ΓΘ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΘ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ·
실제로 E와 같은 AH를 놓고, Z와 같은 ΓΘ를 놓자. AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 E가 Z에 대하여 가지는 비와 같고, E는 AH와 같고 Z는 ΓΘ와 같으므로, 따라서 AB가 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 AH가 ΓΘ에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대하여 가지는 비는 빼낸 AH가 빼낸 ΓΘ에 대하여 가지는 비와 같으므로, 따라서 남은 HB가 남은 ΘΔ에 대하여 가지는 비도 전체 AB가 전체 ΓΔ에 대하여 가지는 비와 같을 것이다. 그런데 AB는 ΓΔ보다 크다.
μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ ΘΔ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ Ε, τὸ δὲ ΓΘ τῷ Ζ, τὰ ἄρα ΑΗ, Ζ ἴσα ἐστὶ τοῖς ΓΘ, ε.
그러므로 HB도 ΘΔ보다 크다. 그리고 AH는 E와 같고 ΓΘ는 Z와 같으므로, 따라서 AH와 Z는 ΓΘ와 E를 합한 것과 같다.
καὶ ἐὰν τῶν ΗΒ, ΘΔ ἀνίσων ὄντων καὶ μείζονος τοῦ ΗΒ τῷ μὲν ΗΒ προστεθῇ τὰ ΑΗ, Ζ, τῷ δὲ ΘΔ προστεθῇ τὰ ΓΘ, Ε, συνάγεται τὰ ΑΒ, Ζ μείζονα τῶν ΓΔ, Ε.
ἐὰν ἄρα τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, τὸ μέγιστον αὐτῶν καὶ τὸ ἐλάχιστον δύο τῶν λοιπῶν μείζονά ἐστιν·
그리고 HB와 ΘΔ가 서로 다르고 HB가 더 클 때, HB에 AH와 Z를 더하고 ΘΔ에 ΓΘ와 E를 더하면, 결과적으로 AB와 Z는 ΓΔ와 E를 합한 것보다 크게 된다. 그러므로 만일 네 크기가 비례한다면, 그들 중 가장 큰 것과 가장 작은 것을 합한 것은 남은 둘을 합한 것보다 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.