§5.prop.19ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
如果整体对整体，正如减去的量对减去的量，那么剩下的量对剩下的量也将正如整体对整体。
ἔστω γὰρ ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΕ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΕ, οὕτως τὸ ΔΓ πρὸς τὸ ΓΖ. καὶ ἐπεὶ συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν, καὶ διαιρεθέντα ἀνάλογον ἔσται, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΕΑ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΓΖ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ΒΕ πρὸς τὸ ΔΖ, οὕτως τὸ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ. ὡς δὲ τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ, οὕτως ὑπόκειται ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ.
ἐὰν ἄρα ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
设整体 AB 对整体 ΓΔ，正如减去的 AE 对减去的 ΓΖ；我说，剩下的 EB 对剩下的 ΖΔ 也将正如整体 AB 对整体 ΓΔ。 因为，既然 AB 对 ΓΔ 正如 AE 对 ΓΖ，且更替地，BA 对 AE 正如 ΔΓ 对 ΓΖ。 并且既然合成的量成比例，那么分离的量也将成比例，正如 BE 对 EA 正如 ΔΖ 对 ΓΖ；且更替地，BE 对 ΔΖ 正如 EA 对 ΖΓ。 然而正如 AE 对 ΓΖ，假设了整体 AB 对整体 ΓΔ；因此，剩下的 EB 对剩下的 ΖΔ 也将正如整体 AB 对整体 ΓΔ。 因此，如果整体对整体，正如减去的量对减去的量，那么剩下的量对剩下的量也将正如整体对整体。
. Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον ᾖ, καὶ ἀναστρέψαντι ἀνάλογον ἔσται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
. 推论由此显然，如果合成的量成比例，那么通过反转也将成比例；这就是所要证明的。
§5.prop.20ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
如果有三个量，以及与它们个数相等的另外三个量，两两相比且比例相同，且在等比中第一量大于第三量，那么第四量也将大于第六量，若相等则相等，若小于则小于。
ἔστω τρία μεγέθη τὰ Α, Β, Γ, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, Ε, Ζ, σύνδυο λαμβανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, διʼ ἴσου δὲ μεῖζον ἔστω τὸ Α τοῦ Γ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ Ζ μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
设三个量为 A, B, Γ，以及与它们个数相等的另外三个量为 Δ, E, Z，两两相比比例相同，正如 A 对 B 正如 Δ 对 E，而 B 对 Γ 正如 E 对 Z，且在等比中设 A 大于 Γ；我说，Δ 也将大于 Z，若相等则相等，若小于则小于。
ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ Α τοῦ Γ, ἄλλο δέ τι τὸ Β, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Γ πρὸς τὸ Β. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ Β, ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε· καὶ τὸ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ πρὸς τὸ Ε. τῶν δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων τὸ μείζονα λόγον ἔχον μεῖζόν ἐστιν. μεῖζον ἄρα τὸ Δ τοῦ Ζ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κἂν ἴσον ᾖ τὸ Α τῷ Γ, ἴσον ἔσται καὶ τὸ Δ τῷ Ζ, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
因为，既然 A 大于 Γ，而 B 是另一个量，且较大者对相同量比较小者有较大的比，因此 A 对 B 比 Γ 对 B 有较大的比。 然而，正如 A 对 B 有 Δ 对 E，而正如 Γ 对 B，相反地有 Z 对 E；因此 Δ 对 E 比 Z 对 E 有较大的比。 而在对相同量有比的量之中，有较大比者较大；因此 Δ 大于 Z。 同样，我们也将证明，如果 A 等于 Γ，则 Δ 也将等于 Z，若小于则小于。
ἐὰν ἄρα ᾖ τρία μεγέθη καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, διʼ ἴσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ᾖ, καὶ τὸ τέταρτον τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται, κἂν ἴσον, ἴσον, κἂν ἔλαττον, ἔλαττον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果有三个量，以及与它们个数相等的另外三个量，两两相比且比例相同，且在等比中第一量大于第三量，那么第四量也将大于第六量，若相等则相等，若小于则小于；这就是所要证明的。