§4.prop.8εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
在给定的正方形内，内切一个圆。
ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
设给定的正方形为ABCD；此时必须在正方形ABCD内，内切一个圆。
τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΑΒ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΘ, διὰ δὲ τοῦ Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ·
设AD、AB中的每一个分别在点E、Z 处被二等分，且通过E引出平行于AB、CD中任一一条的直线EΘ，并通过Z引出平行于AD、BC中任一一条的直线ZK。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΑΚ, ΚΒ, ΑΘ, ΘΔ, ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ, ΗΔ, καὶ αἱ ἀπεναντίον αὐτῶν πλευραὶ δηλονότι ἴσαι.
因而，AK、KB、AΘ、ΘΔ、AH、HΓ、BH、HΔ中的每一个都是平行四边形，且它们的对边显然相等。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΔ ἡμίσεια ἡ ΑΕ, τῆς δὲ ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ· ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΗ, ΗΕ ἐστιν ἴση· αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΗΕ, ΗΖ, ΗΘ, ΗΚ ἴσαι ἀλλήλαις.
并且因为AD等于AB，且AE是AD的一半，AZ是AB的一半，所以AE也等于AZ；从而它们的对边也相等；所以ZH也等于HE。 同理我们可以证明，HΘ、HK中的每一个也分别等于ZH、HE中的每一个；因而，HE、HZ、HΘ、HK这四条直线互相相等。
ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων· καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Θ, Κ γωνίας·
所以，以H为圆心、以E、Z、Θ、K中任一点的距离为半径所作的圆，也将通过其余的点；并且它将与直线AB、BC、CD、DA相切，因为在E、Z、Θ、K处的角是直角。
εἰ γὰρ τεμεῖ ὁ κύκλος τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
因为如果该圆割直线AB、BC、CD、DA，那么从圆的直径的端点处与其垂直引出的直线将会落入圆的内部；而这已被证明是荒谬的。
οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθείας.
因而，以H为圆心、以E、Z、Θ、K中任一点的距离为半径所作的圆，不会割直线AB、BC、CD、DA。
ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν καὶ ἔσται ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
所以它将与它们相切，并且将被内切于正方形ABCD中。
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλος ἐγγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因而，在给定的正方形内，已内切了一个圆；这就是所要做的事。
§4.prop.9περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.
在给定的正方形外，外接一个圆。
ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.
设给定的正方形为ABCD；此时必须在正方形ABCD外，外接一个圆。
ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση ἐστίν·
事实上，连接AC、BD，并设它们交于点E。 因为DA等于AB，且AC是公共的，所以DA、AC两条直线分别等于BA、AC两条直线；且底边DC等于底边BC；所以角DAC等于角BAC；因而，角DAB 被AC二等分。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΔΒ εὐθειῶν.
同理我们可以证明，角ABC、BCD、CDA中的每一个也被直线AC、DB二等分。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΔΑΒ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΑΒ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΒΑ, καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση.
并且因为角DAB等于角ABC，且角EAB是角DAB的一半，角EBA是角ABC的一半，所以角EAB也等于角EBA；从而边EA也等于EB。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΕΓ, ΕΔ ἴση ἐστίν.
同理我们可以证明，EA、EB中的每一个也分别等于EΓ、EΔ中的每一个。
αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
因而，EA、EB、EΓ、EΔ这四条直线互相相等。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ, Δ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
所以，以E为圆心、以A、B、Γ、Δ中任一点的距离为半径所作的圆，也将通过其余的点，并且它将外接于正方形ABCD。
περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓΔ.
περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τετράγωνον κύκλος περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
设它外接为ABCD。 因而，在给定的正方形外，已外接了一个圆；这就是所要做的事。