§4.prop.8εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
与えられた正方形に円を内接させること。
ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ·
与えられた正方形をABCDとする。
δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
このとき正方形ABCDに円を内接させなければならない。
τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΑΒ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΘ, διὰ δὲ τοῦ Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ·
AD, ABのそれぞれが点E, Zにおいて 2等分されたとせよ。 そして、Eを通ってAB, CDのいずれか一方に平行な直線EΘが引かれたとせよ。 またZを通ってAD, BCのいずれか一方に平行な直線ZKが引かれたとせよ。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΑΚ, ΚΒ, ΑΘ, ΘΔ, ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ, ΗΔ, καὶ αἱ ἀπεναντίον αὐτῶν πλευραὶ δηλονότι ἴσαι.
したがって、AK, KB, AΘ, ΘΔ, AH, HΓ, BH, HΔのそれぞれは平行四辺形であり、そして、それらの対辺も明らかに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΔ ἡμίσεια ἡ ΑΕ, τῆς δὲ ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ·
そして、ADはABに等しく、AEはADの半分であり、AZはABの半分であるから、したがってAEもAZに等しい。
ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον·
それゆえ、それらの対辺も［等しい］。
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΗ, ΗΕ ἐστιν ἴση·
したがってZHも HEに等しい。 同様にして、HΘ, HK性能のそれぞれもZH, HEのそれぞれに等しいことを示すであろう。
αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΗΕ, ΗΖ, ΗΘ, ΗΚ ἴσαι ἀλλήλαις.
したがって、4つの直線HE, HZ, HΘ, HKは互いに等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων·
それゆえ、Hを中心とし、E, Z, Θ, Kのいずれか1つの距離を半径として描かれる円は、残りの点をも通るであろう。
καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Θ, Κ γωνίας·
そして、それは直線AB, BC, CD, DAに接するであろう。 なぜなら、E, Z, Θ, Kにおける角が直角だからである。
εἰ γὰρ τεμεῖ ὁ κύκλος τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
というのも、もしその円がAB, BC, CD, DAを交わる（切る）とするなら、円の直径に対して端点から直角に引かれた直線が円の内部に落ちることになり、これは不合理であると示されたからである。
οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθείας.
したがって、Hを中心とし、 E, Z, Θ, Kのいずれか1つの距離を半径として描かれる円は、直線AB, BC, CD, DAを交わる（切る）ことはない。
ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν καὶ ἔσται ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
したがって、それはそれらの直線に接し、正方形ABCDに内接するであろう。
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλος ἐγγέγραπται·
したがって、与えられた正方形に円が内接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
§4.prop.9περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.
与えられた正方形に円を外接させること。
ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ·
与えられた正方形をABCDとする。
δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.
このとき正方形ABCDに円を外接させなければならない。
ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν·
実際、結ばれたAC, BDが点Eにおいて互いに交わるとせよ。 そして、DAはABに等しく、ACは共通であるから、2つの直線DA, ACは2つの直線BA, ACにそれぞれ等しい。
καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση·
そして底辺DCは底辺BCに等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση ἐστίν·
したがって、角DACは角BACに等しい。
ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΔΒ εὐθειῶν.
したがって、角DABは ACによって2等分されている。 同様にして、角ABC, BCD, CDAのそれぞれも直線AC, DBによって2等分されていることを示すであろう。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΔΑΒ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΑΒ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΒΑ, καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστιν ἴση·
そして、角DABは角ABCに等しく、角EABは角DABの半分であり、角EBAは角ABCの半分であるから、したがって角EABも角EBAに等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση.
それゆえ、辺EAもEBに等しい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΕΓ, ΕΔ ἴση ἐστίν.
同様にして、EA, EBのそれぞれもEΓ, EΔのそれぞれに等しいことを示すであろう。
αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、4つの直線EA, EB, EΓ, EΔは互いに等しい。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ, Δ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
それゆえ、Eを中心とし、A, B, Γ, Δのいずれか1つの距離を半径として描かれる円は、残りの点をも通るであろう。 そして、正方形ABCDに外接するであろう。
περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓΔ.
περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τετράγωνον κύκλος περιγέγραπται·
円ABCDのように外接されたとせよ。 したがって、与えられた正方形に円が外接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。