§4.prop.8εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
주어진 정사각형에 원을 내접시키는 것.
ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ·
주어진 정사각형을 ABCD라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
그렇다면 정사각형 ABCD에 원을 내접시켜야 한다.
τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΔ, ΑΒ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΘ, διὰ δὲ τοῦ Ζ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ·
AD, AB 각각이 점 E, Z에서 이등분되었다고 하자. 그리고 E를 지나 AB, CD 중 어느 한쪽에 평행한 직선 EΘ가 그어졌다고 하자. 또한 Z를 지나 AD, BC 중 어느 한쪽에 평행한 직선 ZK가 그어졌다고 하자.
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΑΚ, ΚΒ, ΑΘ, ΘΔ, ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ, ΗΔ, καὶ αἱ ἀπεναντίον αὐτῶν πλευραὶ δηλονότι ἴσαι.
따라서 AK, KB, AΘ, ΘΔ, AH, HΓ, BH, HΔ 각각은 평행사변형이고, 그것들의 대변도 분명히 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΒ, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΔ ἡμίσεια ἡ ΑΕ, τῆς δὲ ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΑΖ·
그리고 AD는 AB와 같고, AE는 AD의 절반이고 AZ는 AB의 절반이므로, 따라서 AE도 AZ와 같다.
ὥστε καὶ αἱ ἀπεναντίον·
그러므로 그것들의 대변도 [같다].
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΘ, ΗΚ ἑκατέρᾳ τῶν ΖΗ, ΗΕ ἐστιν ἴση·
따라서 ZH도 HE와 같다. 같은 방식으로 HΘ, HK 각각도 ZH, HE 각각과 같음을 증명할 것이다.
αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΗΕ, ΗΖ, ΗΘ, ΗΚ ἴσαι ἀλλήλαις.
따라서 네 직선 HE, HZ, HΘ, HK는 서로 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων·
그러므로 H를 중심으로 하고 E, Z, Θ, K 중 어느 한 거리로 그려지는 원은 남은 점들도 지날 것이다.
καὶ ἐφάψεται τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθειῶν διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ε, Ζ, Θ, Κ γωνίας·
그리고 그것은 직선 AB, BC, CD, DA에 접할 것이다. E, Z, Θ, K에서의 각들이 직각이기 때문이다.
εἰ γὰρ τεμεῖ ὁ κύκλος τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου· ὅπερ ἄτοπον ἐδείχθη.
왜냐하면 만약 그 원이 AB, BC, CD, DA를 자른다면, 원의 지름에 대해 끝점으로부터 수직으로 그어진 직선이 원의 내부로 떨어지게 될 것인데, 이는 모순이라고 증명되었기 때문이다.
οὐκ ἄρα ὁ κέντρῳ τῷ Η διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Ε, Ζ, Θ, Κ κύκλος γραφόμενος τεμεῖ τὰς ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ εὐθείας.
그러므로 H를 중심으로 하고 E, Z, Θ, K 중 어느 한 거리로 그려지는 원은 직선 AB, BC, CD, DA를 자르지 않을 것이다.
ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν καὶ ἔσται ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
따라서 그것은 이 직선들에 접할 것이고, 정사각형 ABCD에 내접할 것이다.
εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλος ἐγγέγραπται·
그러므로 주어진 정사각형에 원이 내접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
§4.prop.9περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.
주어진 정사각형에 원을 외접시키는 것.
ἔστω τὸ δοθὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ·
주어진 정사각형을 ABCD라 하자.
δεῖ δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περιγράψαι.
그렇다면 정사각형 ABCD에 원을 외접시켜야 한다.
ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ ΑΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΓ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΓ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΓ ἴσαι εἰσίν·
실제로 이어진 AC, BD가 점 E에서 서로 만난다고 하자. 그리고 DA는 AB와 같고 AC는 공통이므로, 두 직선 DA, AC는 두 직선 BA, AC와 각각 같다.
καὶ βάσις ἡ ΔΓ βάσει τῇ ΒΓ ἴση·
그리고 밑변 DC는 밑변 BC와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση ἐστίν·
따라서 각 DAC는 각 BAC와 같다.
ἡ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΔΒ εὐθειῶν.
따라서 각 DAB는 AC에 의해 이등분되어 있다. 같은 방식으로 각 ABC, BCD, CDA 각각도 직선 AC, DB에 의해 이등분되어 있음을 증명할 것이다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΔΑΒ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΑΒ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΕΒΑ, καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστιν ἴση·
그리고 각 DAB는 각 ABC와 같고, 각 EAB는 각 DAB의 절반이며, 각 EBA는 각 ABC의 절반이므로, 따라서 각 EAB도 각 EBA와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ ἐστιν ἴση.
그러므로 변 EA도 EB와 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΕΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΕΓ, ΕΔ ἴση ἐστίν.
같은 방식으로 EA, EB 각각도 EΓ, EΔ 각각과 같음을 증명할 것이다.
αἱ τέσσαρες ἄρα αἱ ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
따라서 네 직선 EA, EB, EΓ, EΔ는 서로 같다.
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ, Δ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
그러므로 E를 중심으로 하고 A, B, Γ, Δ 중 어느 한 거리로 그려지는 원은 남은 점들도 지날 것이다. 그리고 정사각형 ABCD에 외접할 것이다.
περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓΔ.
περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τετράγωνον κύκλος περιγέγραπται·
원 ABCD처럼 외접되었다고 하자. 그러므로 주어진 정사각형에 원이 외접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.