§4.prop.6εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.
在给定的圆内，内接一个正方形。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.
设给定的圆为ABCD；此时必须在圆ABCD内，内接一个正方形。
ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ·
设圆ABCD的两条直径AC、BD 互相垂直地引出，并连接AB、BC、CD、DA。
κέντρον γὰρ τὸ Ε· κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΑ, βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΑΔ ἴση ἐστίν.
因为BE等于ED（因为E是圆心），且EA是公共的且垂直，所以底边AB等于底边AD。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΑΔ ἴση ἐστίν· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον.
因此，由于同样的原因， BC、CD中的每一个也分别等于AB、AD中的每一个；所以四边形ABCD是等边四边形。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
我还说，它也是矩形。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΔ εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΔ· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία.
因为直线BD是圆ABCD的直径，所以BAD是半圆；因而角BAD是直角。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ ὀρθή ἐστιν· ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον.
因此，由于同样的原因，角ABC、BCD、CDA中的每一个也是直角；所以四边形ABCD是矩形。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τετράγωνον ἄρα ἐστίν.
并且它已被证明是等边的；所以它是正方形。
καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
并且它已被内接于圆ABCD中。
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγέγραπται τὸ ΑΒΓΔ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因而，在给定的圆内，已内接了正方形ABCD；这就是所要做的事。
§4.prop.7περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
在给定的圆外，外切一个正方形。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
设给定的圆为ABCD；此时必须在圆ABCD外，外切一个正方形。
ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΖ.
ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΖΗ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Α ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΕΑ, αἱ ἄρα πρὸς τῷ Α γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
设圆ABCD的两条直径AC、BD 互相垂直地引出，并通过点A、B、C、D引出圆ABCD的切线ZH、HΘ、ΘK、KZ。 因为ZH与圆ABCD相切，且从圆心E向A处的切点连接了 EA，所以A处的角是直角。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Γ, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
因此，由于同样的原因，在点B、C、D处的角也是直角。
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία, ἐστὶ δὲ ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος. ὥστε καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος.
并且因为角AEB是直角，角EBH也是直角，所以HΘ平行于AC。 因此，由于同样的原因， AC也平行于ZK；所以HΘ也平行于ZK。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΖ, ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστι παράλληλος.
同理我们可以证明，HZ、ΘK中的每一个也平行于BED。
παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶ τὰ ΗΚ, ΗΓ, ΑΚ, ΖΒ, ΒΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΘ, ΖΚ, ἡ δὲ ΒΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστιν ἴση, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρον.
因而，HK、HC、AK、ZB、BK是平行四边形；所以，一方面HZ等于ΘK，另一方面HΘ等于ZK。 并且因为AC等于BD，而且AC等于HΘ、ZK中的每一个，BD等于HZ、ΘK中的每一个，所以四边形ZHΘK是等边四边形。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
我还说，它也是矩形。
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΗΒΕΑ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ, ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ πρὸς τοῖς Θ, Κ, Ζ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
因为HBEA是平行四边形，且角AEB是直角，所以角AHB也是直角。 同理我们可以证明，在Θ、K、Z处的角也是直角。
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον· τετράγωνον ἄρα ἐστίν.
所以，ZHΘK是矩形。 并且它已被证明是等边的；所以它是正方形。
καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
并且它已被外切于圆ABCD。
περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τετράγωνον περιγέγραπται· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因而，在给定的圆外，已外切了一个正方形；这就是所要做的事。