§4.prop.6εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.
주어진 원에 정사각형을 내접시키는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ·
주어진 원을 ABCD라 하자.
δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.
그렇다면 원 ABCD에 정사각형을 내접시켜야 한다.
ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ·
원 ABCD의 두 지름 AC, BD가 서로 수직이 되도록 그어졌다고 하자. 그리고 AB, BC, CD, DA를 잇자.
κέντρον γὰρ τὸ Ε· κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΑ, βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΑΔ ἴση ἐστίν.
BE는 ED와 같고(E가 중심이기 때문이다), EA는 공통이며 수직이므로, 따라서 밑변 AB는 밑변 AD와 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΑΔ ἴση ἐστίν·
그러므로 같은 이유로, BC, CD 각각도 AB, AD 각각과 같다.
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον.
따라서 사각형 ABCD는 등변이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
나는 그것이 또한 직사각형이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΔ εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΔ·
직선 BD는 원 ABCD의 지름이므로, 따라서 BAD는 반원이다.
ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία.
그러므로 각 BAD는 직각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ ὀρθή ἐστιν·
그러므로 같은 이유로, 각 ABC, BCD, CDA 각각도 직각이다.
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον.
따라서 사각형 ABCD는 직사각형이다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
그리고 그것은 등변임도 증명되었다.
τετράγωνον ἄρα ἐστίν.
그러므로 그것은 정사각형이다.
καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
그리고 원 ABCD에 내접되었다.
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγέγραπται τὸ ΑΒΓΔ·
그러므로 주어진 원에 정사각형 ABCD가 내접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.
§4.prop.7περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
주어진 원에 정사각형을 외접시키는 것.
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ·
주어진 원을 ABCD라 하자.
δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
그렇다면 원 ABCD에 정사각형을 외접시켜야 한다.
ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΖ.
ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΖΗ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Α ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΕΑ, αἱ ἄρα πρὸς τῷ Α γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
원 ABCD의 두 지름 AC, BD가 서로 수직이 되도록 그어졌다고 하자. 그리고 점 A, B, C, D를 지나며 원 ABCD에 접하는 접선 ZH, HΘ, ΘK, KZ를 긋자. 이제 ZH는 원 ABCD에 접하고, 중심 E에서 점 A의 접점으로 EA를 이었으므로, 따라서 점 A에서의 각들은 직각이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Γ, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
그러므로 같은 이유로, 점 B, C, D에서의 각들도 직각이다.
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία, ἐστὶ δὲ ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος.
그리고 각 AEB는 직각이고 각 EBH도 직각이므로, 따라서 HΘ는 AC와 평행하다. 그러므로 같은 이유로, AC는 ZK와 평행하다.
ὥστε καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος.
따라서 HΘ도 ZK와 평행하다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΖ, ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστι παράλληλος.
같은 방식으로 HZ, ΘK 각각도 BED와 평행함을 증명할 것이다.
παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶ τὰ ΗΚ, ΗΓ, ΑΚ, ΖΒ, ΒΚ·
그러므로 HK, HC, AK, ZB, BK는 평행사변형이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΘ, ΖΚ, ἡ δὲ ΒΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστιν ἴση, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρον.
따라서 HZ는 ΘK와 같고, HΘ는 ZK와 같다. 그리고 AC는 BD와 같고, AC는 HΘ, ZK 각각과 같으며, BD는 HZ, ΘK 각각과 같으므로, 따라서 사각형 ZHΘK는 등변이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
나는 그것이 또한 직사각형이라고 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΗΒΕΑ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ, ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ πρὸς τοῖς Θ, Κ, Ζ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
HBEA는 평행사변형이고 각 AEB는 직각이므로, 따라서 각 AHB도 직각이다. 같은 방식으로 Θ, K, Z에서의 각들도 직각임을 증명할 것이다.
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
그러므로 ZHΘK는 직사각형이다. 그리고 그것은 등변임도 증명되었다.
τετράγωνον ἄρα ἐστίν.
그러므로 그것은 정사각형이다.
καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
그리고 원 ABCD에 외접되었다.
περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τετράγωνον περιγέγραπται·
그러므로 주어진 원에 정사각형이 외접되었다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 하고자 했던 일이다.