§4.prop.6εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.
与えられた円に正方形を内接させること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ· δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι. ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ·
与えられた円をABCDとする。このとき円ABCDに正方形を内接させなければならない。円ABCDの2つの直径AC, BDが互いに直角に引かれたとせよ。 そしてAB, BC, CD, DAが結ばれたとせよ。
κέντρον γὰρ τὸ Ε· κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΑ, βάσις ἄρα ἡ ΑΒ βάσει τῇ ΑΔ ἴση ἐστίν.
そしてBEはEDに等しく（なぜならEは中心だから）、EAは共通でかつ直角であるから、したがって底辺ABは底辺ADに等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ, ΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΑΔ ἴση ἐστίν·
したがって、同じ理由により、 BC, CDのそれぞれもAB, ADのそれぞれに等しい。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον.
それゆえ、四角形ABCDは等辺である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
さらに私は、それが長方形でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΔ εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΔ·
なぜなら、直線BDは円ABCDの直径であるから、したがってBADは半円である。
ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία.
それゆえ、角BADは直角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ ὀρθή ἐστιν·
したがって、同じ理由により、角ABC, BCD, CDAのそれぞれも直角である。
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον.
それゆえ、四角形ABCDは長方形である。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
しかもそれは等辺であることも示された。
τετράγωνον ἄρα ἐστίν.
したがってそれは正方形である。
καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
そして円ABCDに内接された。
εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγέγραπται τὸ ΑΒΓΔ·
したがって、与えられた円に正方形ABCDが内接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。
§4.prop.7περὶ τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
与えられた円に正方形を外接させること。
ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ·
与えられた円をABCDとする。
δεῖ δὴ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
このとき円ABCDに正方形を外接させなければならない。
ἤχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ, ΒΔ, καὶ διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΖ.
ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΖΗ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ Ε κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Α ἐπαφὴν ἐπέζευκται ἡ ΕΑ, αἱ ἄρα πρὸς τῷ Α γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
円ABCDの2つの直径AC, BDが互いに直角に引かれたとせよ。 そして点A, B, C, Dを通って、円ABCDの接線ZH, HΘ, ΘK, KZが引かれたとせよ。 さて、ZHは円ABCDに接しており、中心Eから点Aにおける接点へと EAが結ばれているから、したがってAにおける角は直角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Γ, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
したがって、同じ理由により、点B, C, Dにおける角も直角である。
καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία, ἐστὶ δὲ ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΑΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος.
具体的には、角AEBは直角であり、また角EBHも直角であるから、したがってHΘはACに平行である。 したがって、同じ理由により、 ACはZKにも平行である。
ὥστε καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΖΚ ἐστι παράλληλος.
それゆえ、HΘもZKに平行である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΖ, ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστι παράλληλος.
同様にして、HZ, ΘKのそれぞれもBEDに平行であることを示すであろう。
παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶ τὰ ΗΚ, ΗΓ, ΑΚ, ΖΒ, ΒΚ·
したがって、HK, HC, AK, ZB, BKは平行四辺形である。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΖ τῇ ΘΚ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΒΔ, ἀλλὰ καὶ ἡ μὲν ΑΓ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΘ, ΖΚ, ἡ δὲ ΒΔ ἑκατέρᾳ τῶν ΗΖ, ΘΚ ἐστιν ἴση, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρον.
したがって、一方ではHZはΘKに等しく、他方ではHΘはZKに等しい。 そしてACはBDに等しく、さらにACはHΘ, ZKのそれぞれに等しく、BDはHZ, ΘKのそれぞれに等しいから、したがって四角形ΖΗΘΚは等辺である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ὀρθογώνιον.
さらに私は、それが長方形でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΗΒΕΑ, καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ, ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ πρὸς τοῖς Θ, Κ, Ζ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν.
なぜなら、HBEAは平行四辺形であり、角AEBは直角であるから、したがって角AHBも直角である。 同様にして、Θ, K, Zにおける角も直角であることを示すであろう。
ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
したがって、ΖΗΘΚは長方形である。 しかもそれは等辺であることも示された。
τετράγωνον ἄρα ἐστίν.
したがってそれは正方形である。
καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.
そして円ABCDに外接された。
περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τετράγωνον περιγέγραπται·
したがって、与えられた円に正方形が外接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これこそなすべきことであった。