§4.prop.5περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι.
求作已知三角形的外接圆。
ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ·
设已知三角形为 ΑΒΓ。
δεῖ 2 περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον περιγράψαι.
求作已知三角形 ΑΒΓ 的外接圆。
τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι δίχα κατὰ τὰ Δ, Ε σημεῖα, καὶ ἀπὸ τῶν Δ, Ε σημείων ταῖς ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὁρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΔΖ, ΕΖ·
将直线 ΑΒ、ΑΓ 分别在点 Δ、Ε 二等分，并从点 Δ、Ε 分别作 ΑΒ、ΑΓ 的垂线 ΔΖ、ΕΖ。
συμπεσοῦνται δὴ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἢ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας ἢ ἐκτὸς τῆς ΒΓ.
συμπιπτέτωσαν πρότερον ἐντὸς κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση.
它们必相交于三角形 ΑΒΓ 的内部，或在直线 ΒΓ 上，或在 ΒΓ 的外部。 首先，设它们相交于内部的点 Ζ，并连接 ΖΒ、ΖΓ、ΖΑ。 因为 ΑΔ 等于 ΔΒ，且 ΔΖ 为公共边且垂直，所以底边 ΑΖ 等于底边 ΖΒ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση·
同理，我们也可以证明 ΓΖ 也等于 ΑΖ。
ὥστε καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση·
因此 ΖΒ 也等于 ΖΓ。
αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
所以三条直线 ΖΑ、ΖΒ、ΖΓ 彼此相等。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν Α, Β, Γ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος ὁ κύκλος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
因此，以 Ζ 为圆心，以到点 Α、Β、Γ 之一的距离为半径所作的圆，也必通过其余的点，且该圆将外接于三角形 ΑΒΓ。
περιγεγράφθω ὡς ὁ ΑΒΓ.
ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας κατὰ τὸ Ζ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου.
设其外接圆为 ΑΒΓ。 现在，设 ΔΖ、ΕΖ 相交于直线 ΒΓ 上的点 Ζ（如第二幅图所示），并连接 ΑΖ。 同理，我们将证明点 Ζ 是三角形 ΑΒΓ 外接圆的圆心。
ἀλλὰ δὴ αἱ ΔΖ, ΕΖ συμπιπτέτωσαν ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου κατὰ τὸ Ζ πάλιν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΒΖ, ΓΖ. καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση.
现在，再设 ΔΖ、ΕΖ 相交于三角形 ΑΒΓ 外部的点 Ζ（如第三幅图所示），并连接 ΑΖ、ΒΖ、ΓΖ。 因为同样地 ΑΔ 等于 ΔΒ，且 ΔΖ 为公共边且垂直，所以底边 ΑΖ 等于底边 ΒΖ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΖ ἐστιν ἴση·
同理，我们也可以证明 ΓΖ 也等于 ΑΖ。
ὥστε καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἐστιν ἴση·
因此 ΒΖ 也等于 ΖΓ。
ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ, ΖΒ, ΖΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἔσται περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.
因此，以 Ζ 为圆心，以 ΖΑ、ΒΖ、ΓΖ 之一为半径所作的圆，也必通过其余的点，且外接于三角形 ΑΒΓ。
περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγραπται·
因此，已在已知三角形外接一圆。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
这就是所要求作的。
καὶ φανερόν, ὅτι, ὅτε μὲν ἐντὸς τοῦ τριγώνου πίπτει τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν μείζονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς· ὅτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν· ὅτε δὲ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς τοῦ τριγώνου πίπτει, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν ἐλάττονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχάνουσα μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.
显而易见，当圆心落在三角形内部时，角 ΒΑΓ 处于大于半圆的弓形中，因而小于直角；当圆心落在直线 ΒΓ 上时，角 ΒΑΓ 处于半圆中，因而是直角；当圆心落在三角形外部时，角 ΒΑΓ 处于小于半圆的弓形中，因而大于直角。