§3.prop.9ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου.
如果在圆内任取一点，且从该点向圆引出多于两条相等的直线，则所取的那点就是圆的圆心。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἐντὸς δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ· λέγω, ὅτι τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
设圆为 ΑΒΓ，其内有一点 Δ，且从 Δ 向圆 ΑΒΓ 引出多于两条相等的直线 ΔΑ、ΔΒ、ΔΓ；我说，点 Δ 是圆 ΑΒΓ 的圆心。
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΔ, ΖΔ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Κ, Θ, Λ σημεῖα.
因为，连结 ΑΒ、ΒΓ，且在点 Ε、Ζ 处平分它们，并连结 ΕΔ、ΖΔ，延长它们分别至点 Η、Κ 以及 Θ、Λ。
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΔ δύο ταῖς ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν· καὶ βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΔΒ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν·
于是，因为 ΑΕ 等于 ΕΒ，且 ΕΔ 是公共的，所以两直线 ΑΕ、ΕΔ 等于两直线 ΒΕ、ΕΔ；且底边 ΔΑ 等于底边 ΔΒ；因此角 ΑΕΔ 等于角 ΒΕΔ。
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ, ΒΕΔ γωνιῶν· ἡ ΗΚ ἄρα τὴν ΑΒ τέμνει δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς.
因此角 ΑΕΔ、ΒΕΔ 各自为直角；所以 ΗΚ 平分 ΑΒ 且与其垂直。
καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἐπὶ τῆς ΗΚ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
又由于，如果在圆中有一条直线平分另一条直线且与其垂直，则圆的圆心在此平分线上，因此圆的圆心在 ΗΚ 上。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
同理，圆 ΑΒΓ 的圆心也在 ΘΛ 上。
καὶ οὐδὲν ἕτερον κοινὸν ἔχουσιν αἱ ΗΚ, ΘΛ εὐθεῖαι ἢ τὸ Δ σημεῖον· τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
而直线 ΗΚ、 ΘΛ 除点 Δ 外没有其他公共点；因此点 Δ 是圆 ΑΒΓ 的圆心。
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果在圆内任取一点，且从该点向圆引出多于两条相等的直线，则所取的那点就是圆的圆心；这就是所要证明的。
§3.prop.10κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.
圆与圆相交，其交点不能多于两个。
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Β, Η, Ζ, Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ, ΒΗ δίχα τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ κ, Λ σημεῖα· καὶ ἀπὸ τῶν Κ, Λ ταῖς ΒΘ, ΒΗ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΚΓ, ΛΜ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Α, Ε σημεῖα.
因为，如果可能，设圆 ΑΒΓ 与圆 ΔΕΖ 在多于两个的点 Β、Η、Ζ、Θ 处相交，并连结 ΒΘ、ΒΗ，平分于点 Κ、Λ；且从 Κ、Λ 向 ΒΘ、ΒΗ 引垂直线 ΚΓ、ΛΜ，延长至点 Α、Ε。
ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΑΓ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΘ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΑΓ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
于是，因为在圆 ΑΒΓ 中，有一条直线 ΑΓ 平分某条直线 ΒΘ 且与其垂直，所以圆 ΑΒΓ 的圆心在 ΑΓ 上。
πάλιν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ αὐτῷ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΗ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
再次，因为在同一个圆 ΑΒΓ 中，有一条直线 ΝΞ 平分某条直线 ΒΗ 且与其垂直，所以圆 ΑΒΓ 的圆心在 ΝΞ 上。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ κατʼ οὐδὲν συμβάλλουσιν αἱ ΑΓ, ΝΞ εὐθεῖαι ἢ κατὰ τὸ Ο· τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
但它已被证明也在 ΑΓ 上，且直线 ΑΓ、ΝΞ 除在点 Ο 处外交于无处；因此点 Ο 是圆 ΑΒΓ 的圆心。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου κέντρον ἐστὶ τὸ Ο· δύο ἄρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλους τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ τὸ αὐτό ἐστι κέντρον τὸ Ο· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
同理，我们将证明点 Ο 也是圆 ΔΕΖ 的圆心；因此相交的两圆 ΑΒΓ、ΔΕΖ 拥有相同的圆心 Ο；而这是不可能的。
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，圆与圆相交，其交点不能多于两个；这就是所要证明的。