§3.prop.9ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου.
만약 원 내부에 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 두 개보다 많은 같은 직선들이 내린다면, 잡힌 그 점은 원의 중심이다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἐντὸς δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ·
원을 ΑΒΓ라 하고, 그 내부의 점을 Δ라 하자. 그리고 Δ로부터 원 ΑΒΓ를 향해 두 개보다 많은 같은 직선들 ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ가 내린다고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
나는 점 Δ가 원 ΑΒΓ의 중심이라고 주장한다.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΔ, ΖΔ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Κ, Θ, Λ σημεῖα.
왜냐하면 ΑΒ, ΒΓ가 연결되고 점 Ε, Ζ에서 이등분되었다고 하자. 그리고 연결된 ΕΔ, ΖΔ가 점 Η, Κ, Θ, Λ까지 연장되었다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΔ δύο ταῖς ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 ΑΕ는 ΕΒ와 같고, ΕΔ는 공통이므로, 두 직선 ΑΕ, ΕΔ는 두 직선 ΒΕ, ΕΔ와 같다.
καὶ βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΔΒ ἴση·
그리고 밑변 ΔΑ는 밑변 ΔΒ와 같다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν·
그러므로 각 ΑΕΔ는 각 ΒΕΔ와 같다.
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ, ΒΕΔ γωνιῶν·
그러므로 각 ΑΕΔ, ΒΕΔ 각각은 직각이다.
ἡ ΗΚ ἄρα τὴν ΑΒ τέμνει δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς.
그러므로 ΗΚ는 ΑΒ를 이등분하고 직각으로 만난다.
καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἐπὶ τῆς ΗΚ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
그리고 만약 원에서 어떤 직선이 다른 어떤 직선을 이등분하고 직각으로 만난다면, 원의 중심은 그 이등분선 위에 있으므로, 그러므로 원의 중심은 ΗΚ 위에 있다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
같은 이유로, 원 ΑΒΓ의 중심은 ΘΛ 위에도 있다.
καὶ οὐδὲν ἕτερον κοινὸν ἔχουσιν αἱ ΗΚ, ΘΛ εὐθεῖαι ἢ τὸ Δ σημεῖον·
그리고 직선 ΗΚ, ΘΛ은 점 Δ 이외에 다른 어떤 공통의 점도 가지지 않는다.
τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
그러므로 점 Δ는 원 ΑΒΓ의 중심이다.
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου·
그러므로 만약 원 내부에 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 두 개보다 많은 같은 직선들이 내린다면, 잡힌 그 점은 원의 중심이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.
§3.prop.10κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.
원은 다른 원과 두 개보다 많은 점에서 만나지 않는다.
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Β, Η, Ζ, Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ, ΒΗ δίχα τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ κ, Λ σημεῖα·
왜냐하면 만약 가능하다면, 원 ΑΒΓ가 원 ΔΕΖ와 두 개보다 많은 점 Β, Η, Ζ, Θ에서 만난다고 하자. 그리고 연결된 ΒΘ, ΒΗ가 점 Κ, Λ에서 이등분되었다고 하자.
καὶ ἀπὸ τῶν Κ, Λ ταῖς ΒΘ, ΒΗ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΚΓ, ΛΜ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Α, Ε σημεῖα.
그리고 Κ, Λ로부터 ΒΘ, ΒΗ에 수직으로 그어진 ΚΓ, ΛΜ이 점 Α, Ε까지 연장되었다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΑΓ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΘ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΑΓ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
그러므로 원 ΑΒΓ에서 어떤 직선 ΑΓ가 어떤 직선 ΒΘ를 이등분하고 직각으로 만나므로, 그러므로 원 ΑΒΓ의 중심은 ΑΓ 위에 있다.
πάλιν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ αὐτῷ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΗ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
다시, 같은 원 ΑΒΓ에서 어떤 직선 ΝΞ가 어떤 직선 ΒΗ를 이등분하고 직각으로 만나므로, 그러므로 원 ΑΒΓ의 중심은 ΝΞ 위에 있다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ κατʼ οὐδὲν συμβάλλουσιν αἱ ΑΓ, ΝΞ εὐθεῖαι ἢ κατὰ τὸ Ο·
그런데 그것은 ΑΓ 위에도 있다고 증명되었고, 직선 ΑΓ, ΝΞ는 점 Ο 이외에는 어떤 곳에서도 만나지 않는다.
τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
그러므로 점 Ο는 원 ΑΒΓ의 중심이다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου κέντρον ἐστὶ τὸ Ο·
같은 방법으로 우리는 점 Ο가 원 ΔΕΖ의 중심이기도 하다는 것을 증명할 것이다.
δύο ἄρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλους τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ τὸ αὐτό ἐστι κέντρον τὸ Ο·
그러므로 서로 만나는 두 원 ΑΒΓ, ΔΕΖ가 같은 중심 오를 가지게 된다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
그런데 이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο·
그러므로 원은 다른 원과 두 개보다 많은 점에서 만나지 않는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.