§3.prop.8#2ὥστε ἡ ΗΔ τῆς ΚΔ ἐλάττων ἐστίν·
因此 ΗΔ 小于 ΚΔ。
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΜΛΔ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΜΔ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάθησαν αἱ ΜΚ, ΚΔ, αἱ ἄρα ΜΚ, ΚΔ τῶν ΜΛ, ΛΔ ἐλάττονές εἰσιν· ἴση δὲ ἡ ΜΚ τῇ ΜΛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΚ λοιπῆς τῆς ΔΛ ἐλάττων ἐστίν.
而且，由于在三角形 ΜΛΔ 的一旁 ΜΔ 上，向内构造了两条直线 ΜΚ、ΚΔ，所以 ΜΚ、ΚΔ 小于 ΜΛ、ΛΔ；而 ΜΚ 等于 ΜΛ；因此余下的 ΔΚ 小于余下的 ΔΛ。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΛ τῆς ΔΘ ἐλάττων ἐστίν· ἐλαχίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΗ, ἐλάττων δὲ ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ.
λέγω, ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης·
同理，我们也将证明 ΔΛ 小于 ΔΘ；因此 ΔΗ 最小，且 ΔΚ 小于 ΔΛ，ΔΛ 小于 ΔΘ。 我说，从点 Δ 向圆在最小直线 ΔΗ 的两侧也只能引出两条相等的直线。
συνεστάτω πρὸς τῇ ΜΔ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Μ τῇ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΔΜΒ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΚ τῇ ΜΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΔ δύο ταῖς ΒΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΔΚ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.
设在直线 ΜΔ 及其上的点 Μ 处作角 ΔΜΒ 等于角 ΚΜΔ，并连结 ΔΒ。 由于 ΜΚ 等于 ΜΒ，且 ΜΔ 是公共的，所以两直线 ΚΜ、ΜΔ 分别等于两直线 ΒΜ、ΜΔ；且角 ΚΜΔ 等于角 ΒΜΔ；因此底边 ΔΚ 等于底边 ΔΒ。
λέγω, ὅτι τῇ ΔΚ εὐθείᾳ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου.
我说，从点 Δ 向圆不能引出另一条等于直线 ΔΚ 的直线。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΔΝ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΚ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἀλλʼ ἡ ΔΚ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης τῇ ἀπώτερον ἴση· ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
因为，如果可能，设引出一条为 ΔΝ。 由于 ΔΚ 等于 ΔΝ，而 ΔΚ 等于 ΔΒ，所以 ΔΒ 也等于 ΔΝ，即较靠近最小直线 ΔΗ 的直线等于较遥远的直线；而这已被证明是不可能的。
οὐκ ἄρα πλείους ἢ δύο ἴσαι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης προσπεσοῦνται.
因此，从点 Δ 向圆 ΑΒΓ 在最小直线 ΔΗ 的两侧不能引出多于两条相等的直线。
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης·
因此，如果从圆外任取一点，且从该点向圆引若干条直线，其中一条通过圆心，其余的任意引出，则在向凹弧引出的直线中，最大的是通过圆心的那条，而在其余直线中，较靠近通过圆心的直线总是大于较遥远的直线；在向凸弧引出的直线中，最小的是夹在点与直径之间的那条，而在其余直线中，较靠近最小直线的总是小于较遥远的直线；并且，从该点向圆在最小直线的两侧只能引出两条相等的直线。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。