§3.prop.9ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου.
もし円の内部に何らかの点が取られ、その点から円へ2つより多くの等しい直線が下りるならば、取られたその点は円の中心である。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἐντὸς δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτέτωσαν πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ·
円をΑΒΓとし、その内部の点をΔとし、 Δから円ΑΒΓへ2つより多くの等しい直線ΔΑ, ΔΒ, ΔΓが下りるとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
私は、点Δは円ΑΒΓの中心であると主張する。
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΕΔ, ΖΔ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Κ, Θ, Λ σημεῖα.
なぜなら、ΑΒ, ΒΓが結ばれ、点Ε, Ζにおいて二等分されたとせよ。 そして、結ばれたΕΔ, ΖΔが点Η, Κ, Θ, Λまで延長されたとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΔ, δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΔ δύο ταῖς ΒΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν·
したがって、ΑΕは ΕΒに等しく、ΕΔは共通であるから、二つのΑΕ, ΕΔは二つのΒΕ, ΕΔに等しい。
καὶ βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΔΒ ἴση·
そして底辺ΔΑは底辺ΔΒに等しい。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΕΔ ἴση ἐστίν·
したがって角ΑΕΔは角ΒΕΔに等しい。
ὀρθὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΕΔ, ΒΕΔ γωνιῶν·
したがって角ΑΕΔ, ΒΕΔのそれぞれは直角である。
ἡ ΗΚ ἄρα τὴν ΑΒ τέμνει δίχα καὶ πρὸς ὀρθάς.
したがって、ΗΚはΑΒを二等分し、かつ垂直に交わる。
καὶ ἐπεί, ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις εὐθεῖάν τινα δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ, ἐπὶ τῆς τεμνούσης ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου, ἐπὶ τῆς ΗΚ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου.
そして、もし円においてある直線が別の直線を二等分し、かつ垂直に交わるならば、円の中心はその分割線上にあるから、したがって円の中心はΗΚ上にある。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς ΘΛ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
同じ理由により、円ΑΒΓの中心はΘΛ上にもある。
καὶ οὐδὲν ἕτερον κοινὸν ἔχουσιν αἱ ΗΚ, ΘΛ εὐθεῖαι ἢ τὸ Δ σημεῖον·
そして、直線ΗΚ, ΘΛは、点Δのほかにいかなる共通の点も持たない。
τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
したがって点Δは円ΑΒΓの中心である。
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι, τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ κύκλου·
したがって、もし円の内部に何らかの点が取られ、その点から円へ2つより多くの等しい直線が下りるならば、取られたその点は円の中心である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§3.prop.10κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.
円は円を2つより多くの点で交わることはない。
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλον τὸν ΔΕΖ τεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο τὰ Β, Η, Ζ, Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ, ΒΗ δίχα τεμνέσθωσαν κατὰ τὰ κ, Λ σημεῖα·
なぜなら、もし可能なら、円ΑΒΓが円ΔΕΖと2つより多くの点Β, Η, Ζ, Θにおいて交わるとせよ。 そして、結ばれたΒΘ, ΒΗが、点 Κ, Λにおいて二等分されたとせよ。
καὶ ἀπὸ τῶν Κ, Λ ταῖς ΒΘ, ΒΗ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΚΓ, ΛΜ διήχθωσαν ἐπὶ τὰ Α, Ε σημεῖα.
検して、Κ, ΛからΒΘ, ΒΗに垂直に引かれたΚΓ, ΛΜが、点Α, Εまで延長されたとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΑΓ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΘ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΑΓ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
したがって、円ΑΒΓにおいて、ある直線ΑΓが、ある直線ΒΘを二等分し、かつ垂直に交わるから、したがって円ΑΒΓの中心はΑΓ上にある。
πάλιν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ αὐτῷ τῷ ΑΒΓ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΗ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
次に、同じ円ΑΒΓにおいて、ある直線 ΝΞが、ある直線ΒΗを二等分し、かつ垂直に交わるから、したがって円ΑΒΓの中心はΝΞ上にある。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ κατʼ οὐδὲν συμβάλλουσιν αἱ ΑΓ, ΝΞ εὐθεῖαι ἢ κατὰ τὸ Ο·
しかしそれはΑΓ上にもあると示された。 そして、直線ΑΓ, ΝΞは、点Ο以外にどこでも交わらない。
τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
したがって点Οは円ΑΒΓの中心である。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΔΕΖ κύκλου κέντρον ἐστὶ τὸ Ο·
同様にして、点Οが円ΔΕΖの中心でもあることを示すであろう。
δύο ἄρα κύκλων τεμνόντων ἀλλήλους τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ τὸ αὐτό ἐστι κέντρον τὸ Ο·
したがって、互いに交わる二つの円ΑΒΓ, ΔΕΖが、同じ中心Οを持つことになる。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο·
したがって、円は円を2つより多くの点で交わることはない。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。