§3.prop.11ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός, καὶ ληφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶ ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων.
如果两圆内切，且取它们的圆心，则连结它们圆心的直线在延长后必落到两圆的切点上。
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐντὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Α πεσεῖται.
因为，设两圆 ΑΒΓ、ΑΔΕ 在点 Α 处内切，并取圆 ΑΒΓ 的圆心为 Ζ，圆 ΑΔΕ 的圆心为 Η；我说，自 Η 到 Ζ 连结的直线在延长后必落到点 Α 上。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, πιπτέτω ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.
ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗ, ΗΖ τῆς ΖΑ, τουτέστι τῆς ΖΘ, μείζονές εἰσιν, κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ λοιπῆς τῆς ΗΘ μείζων ἐστίν.
因为，若不然，如果可能，设它落为 ΖΗΘ，并连结 ΑΖ、ΑΗ。 于是，因为 ΑΗ、ΗΖ 大于 ΖΑ（即 ΖΘ），设减去公共的 ΖΗ；所以余下的 ΑΗ 大于余下的 ΗΘ。
ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΗΔ· καὶ ἡ ΗΔ ἄρα τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον·
但 ΑΗ 等于 ΗΔ；所以 ΗΔ 也大于 ΗΘ，即较小的（量）大于较大的（量）；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται· κατὰ τὸ Α ἄρα ἐπὶ τῆς συναφῆς πεσεῖται.
因此自 Ζ 到 Η 连结的直线不会落在外面；所以它必落在切点 Α 上。
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντός,, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果两圆内切，则连结它们圆心的直线必落在两圆的切点上；这就是所要证明的。
§3.prop.12ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται.
如果两圆外切，则连结它们圆心的直线必通过切点。
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων ἐκτὸς κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κέντρον τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ Η· λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς ἐλεύσεται.
因为，设两圆 ΑΒΓ、ΑΔΕ 在点 Α 处外切，并取圆 ΑΒΓ 的圆心为 Ζ，圆 ΑΔΕ 的圆心为 Η；我说，自 Ζ 到 Η 连结的直线必通过在点 Α 处的切点。
μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἐρχέσθω ὡς ἡ ΖΓΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΑΗ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΑ τῇ ΗΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΖΓ ἴση· αἱ ἄρα ΖΑ, ΑΗ ταῖς ΖΓ, ΗΔ ἴσαι εἰσίν· ὥστε ὅλη ἡ ΖΗ τῶν ΖΑ, ΑΗ μείζων ἐστίν· ἀλλὰ καὶ ἐλάττων· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
因为，若不然，如果可能，设它通过如 ΖΓΔΗ，并连结 ΑΖ、ΑΗ。 于是，因为点 Ζ 是圆 ΑΒΓ 的圆心，所以 ΖΑ 等于 ΖΓ。 再次，因为点 Η 是圆 ΑΔΕ 的圆心，所以 ΗΑ 等于 ΗΔ。 但 ΖΑ 也被证明等于 ΖΓ；所以两直线 ΖΑ、ΑΗ 等于两直线 ΖΓ、ΗΔ；从而全体 ΖΗ 大于 ΖΑ、ΑΗ；但它也小于（它们）；这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς οὐκ ἐλεύσεται· διʼ αὐτῆς ἄρα.
因此自 Ζ 到 Η 连结的直线不会不通过在点 Α 处的切点；所以必通过它。
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐκτός, ἡ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη διὰ τῆς ἐπαφῆς ἐλεύσεται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，如果两圆外切，则连结它们圆心的直线必通过切点；这就是所要证明的。
§3.prop.13κύκλος κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ καθʼ ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται.
圆与圆相切，不论内切还是外切，切点都不能多于一个。
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλου τοῦ ΕΒΖΔ ἐφαπτέσθω πρότερον ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ δ, Β.
καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου κέντρον τὸ Η, τοῦ δὲ ΕΒΖΔ τὸ Θ.
ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη ἐπὶ τὰ Β, Δ πεσεῖται.
因为，如果可能，设圆 ΑΒΓΔ 首先在多于一个的点 δ、Β 处内切于圆 ΕΒΖΔ。 并取圆 ΑΒΓΔ 的圆心为 Η，圆 ΕΒΖΔ 的圆心为 Θ。 所以自 Η 到 Θ 连结的直线必落在 Β、Δ 上。
πιπτέτω ὡς ἡ ΒΗΘΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΗ τῇ ΗΔ· μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΘΔ· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ΒΘ τῆς ΘΔ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΘ τῇ ΘΔ· ἐδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων· ὅπερ ἀδύνατον·
设它落为 ΒΗΘΔ。 又因为点 Η 是圆 ΑΒΓΔ 的圆心，所以 ΒΗ 等于 ΗΔ；因此 ΒΗ 大于 ΘΔ；所以 ΒΘ 远大于 ΘΔ。 再次，因为点 Θ 是圆 ΕΒΖΔ 的圆心，所以 ΒΘ 等于 ΘΔ；但它也被证明远大于它；这是不可能的。
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐντὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
因此，圆与圆内切，切点不能多于一个。
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐκτός.
我说，外切时也同样如此。
εἰ γὰρ δυνατόν, κύκλος ὁ ΑΓΚ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἓν τὰ Α, Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ.
ἐπεὶ οὖν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΑΓΚ εἴληπται ἐπὶ τῆς περιφερείας ἑκατέρου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Α, Γ, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς ἑκατέρου πεσεῖται· ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓΔ ἐντὸς ἔπεσεν, τοῦ δὲ ΑΓΚ ἐκτός· ὅπερ ἄτοπον·
因为，如果可能，设圆 ΑΓΚ 外切于圆 ΑΒΓΔ 于多于一个的点 Α、Γ 处，并连结 ΑΓ。 于是，因为在圆 ΑΒΓΔ、ΑΓΚ 各自的圆周上取了任意两点 Α、Γ，所以连结这两点的直线必落在它们各自的内部；但是它落在 ΑΒΓΔ 的内部，而落在 ΑΓΚ 的外部；这是荒谬的。
οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
因此，圆与圆外切，切点不能多于一个。
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐντός.
而它已被证明内切时也不能多于一个。
κύκλος ἄρα κύκλου οὐκ ἐφάπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν, ἐάν τε ἐντὸς ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，圆与圆相切，不论内切还是外切，切点都不能多于一个；这就是所要证明的。