§3.prop.8#2ὥστε ἡ ΗΔ τῆς ΚΔ ἐλάττων ἐστίν·
그러므로 ΗΔ는 ΚΔ보다 작다.
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΜΛΔ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΜΔ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάθησαν αἱ ΜΚ, ΚΔ, αἱ ἄρα ΜΚ, ΚΔ τῶν ΜΛ, ΛΔ ἐλάττονές εἰσιν·
그리고 삼각형 ΜΛΔ에서 한 변 ΜΔ 위에 두 직선 ΜΚ, ΚΔ가 내부에 세워졌으므로, 그러므로 ΜΚ, ΚΔ는 ΜΛ, ΛΔ보다 작다.
ἴση δὲ ἡ ΜΚ τῇ ΜΛ·
그런데 ΜΚ는 ΜΛ와 같다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΚ λοιπῆς τῆς ΔΛ ἐλάττων ἐστίν.
그러므로 남은 ΔΚ는 남은 ΔΛ보다 작다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΛ τῆς ΔΘ ἐλάττων ἐστίν·
같은 방법으로 우리는 ΔΛ 역시 ΔΘ보다 작다는 것을 증명할 것이다.
ἐλαχίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΗ, ἐλάττων δὲ ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ.
λέγω, ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης·
그러므로 ΔΗ가 가장 작고, ΔΚ는 ΔΛ보다 작으며, ΔΛ은 ΔΘ보다 작다. 나는 또한 점 Δ로부터 원을 향해 가장 작은 ΔΗ의 양편으로 오직 두 개만 같은 직선이 내려질 것이라고 주장한다.
συνεστάτω πρὸς τῇ ΜΔ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Μ τῇ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΔΜΒ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΚ τῇ ΜΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΔ δύο ταῖς ΒΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
직선 ΜΔ와 그 위의 점 Μ에서 각 ΚΜΔ와 같은 각 ΔΜΒ를 만들고 ΔΒ를 연결하라. 그리고 ΜΚ가 ΜΒ와 같고 ΜΔ는 공통이므로, 두 직선 ΚΜ, ΜΔ는 두 직선 ΒΜ, ΜΔ와 각각 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴση·
그리고 각 ΚΜΔ는 각 ΒΜΔ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΔΚ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.
그러므로 밑변 ΔΚ는 밑변 ΔΒ와 같다.
λέγω, ὅτι τῇ ΔΚ εὐθείᾳ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου.
나는 직선 ΔΚ와 같은 다른 직선이 점 Δ로부터 원을 향해 내리지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΔΝ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΚ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἀλλʼ ἡ ΔΚ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης τῇ ἀπώτερον ἴση·
왜냐하면 만약 가능하다면, 그것이 내려진다고 하고 그것을 ΔΝ이라 하자. 그러면 ΔΚ가 ΔΝ과 같고, 한편 ΔΚ는 ΔΒ와 같으므로, 그러므로 ΔΒ 역시 ΔΝ과 같다. 즉, 가장 작은 ΔΗ에 더 가까운 것이 더 먼 것과 같게 된다.
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
그러나 이것은 불가능하다고 증명되었다.
οὐκ ἄρα πλείους ἢ δύο ἴσαι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης προσπεσοῦνται.
그러므로 점 Δ로부터 원 ΑΒΓ를 향해 가장 작은 ΔΗ의 양편으로 두 개보다 많은 같은 직선이 내리지는 않을 것이다.
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης·
그러므로 만약 원 외부의 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 어떤 직선들이 그어지는데, 그중 하나는 중심을 지나고 남은 것들은 임의로 그어진다면, 오목한 원둘레를 향해 내린 직선들 중에서는 중심을 지나는 것이 가장 크고, 다른 직선들 중에서는 중심을 지나는 직선에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 항상 더 크며, 볼록한 원둘레를 향해 내린 직선들 중에서는 그 점과 지름 사이에 있는 것이 가장 작고, 다른 직선들 중에서는 가장 작은 직선에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 항상 더 작다. 또한 그 점으로부터 원을 향해 가장 작은 직선의 양편으로 오직 두 개만 같은 직선이 내려질 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.