§3.prop.8#2ὥστε ἡ ΗΔ τῆς ΚΔ ἐλάττων ἐστίν·
したがって、ΗΔはΚΔよりも小さい。
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΜΛΔ ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς ΜΔ δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάθησαν αἱ ΜΚ, ΚΔ, αἱ ἄρα ΜΚ, ΚΔ τῶν ΜΛ, ΛΔ ἐλάττονές εἰσιν·
そして、三角形ΜΛΔにおいて、その一辺であるΜΔの上に、二つの直線ΜΚ、ΚΔが内側に立てられたから、したがってΜΚ、ΚΔはΜΛ、ΛΔよりも小さい。
ἴση δὲ ἡ ΜΚ τῇ ΜΛ·
そして、ΜΚはΜΛに等しい。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΚ λοιπῆς τῆς ΔΛ ἐλάττων ἐστίν.
したがって、残りのΔΚは残りのΔΛよりも小さい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΛ τῆς ΔΘ ἐλάττων ἐστίν·
したがって同様にして、ΔΛもまたΔΘよりも小さいことを示すであろう。
ἐλαχίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΗ, ἐλάττων δὲ ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ ἡ δὲ ΔΛ τῆς ΔΘ.
λέγω, ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ Δ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης·
したがって、ΔΗが最小であり、ΔΚはΔΛよりも小さく、ΔΛはΔΘよりも小さい。 私は、点Δから円へ、最小のΔΗの両側において、二つだけ等しい直線が下りるであろうと主張する。
συνεστάτω πρὸς τῇ ΜΔ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Μ τῇ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΔΜΒ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΚ τῇ ΜΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΔ, δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΔ δύο ταῖς ΒΜ, ΜΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
直線ΜΔおよびその上にある点Μにおいて、角ΚΜΔに等しい角ΔΜΒが作られたとせよ。 そしてΔΒが結ばれたとせよ。 そして、ΜΚはΜΒに等しく、ΜΔは共通であるから、二つのΚΜ、ΜΔは二つのΒΜ、ΜΔに、それぞれそれぞれに等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴση·
そして角ΚΜΔは角 ΒΜΔに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΔΚ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν.
したがって底辺ΔΚは底辺ΔΒに等しい。
λέγω, ὅτι τῇ ΔΚ εὐθείᾳ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου.
私は、直線ΔΚに等しい他の直線は、点Δから円へ下りないであろうと主張する。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΔΝ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΚ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἀλλʼ ἡ ΔΚ τῇ ΔΒ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς ΔΗ ἐλαχίστης τῇ ἀπώτερον ἴση·
なぜなら、もし可能なら、下りるとしてそれをΔΝとせよ。 したがって、ΔΚはΔΝに等しく、しかしΔΚはΔΒに等しいから、したがってΔΒもまた ΔΝに等しい、すなわち最小のΔΗにより近いものが、より遠いものに等しいことになる。
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
これは不可能であると示された。
οὐκ ἄρα πλείους ἢ δύο ἴσαι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΔΗ ἐλαχίστης προσπεσοῦνται.
したがって、二つより多くの等しい直線が、点Δから円ΑΒΓへ、最小のΔΗの両側において下りることはない。
ἐὰν ἄρα κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέντρου αἱ δὲ λοιπαί, ὡς ἔτυχεν, τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάττων, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης·
したがって、もし円の外側にある点が取られ、その点から円へいくつかの直線が引かれ、それらのうち一つは中心を通り、残りは任意に引かれるならば、凹の周へ下りる直線のうちでは、中心を通るものが最大であり、その他のうちでは、中心を通るものにより近いものが常に遠いものよりも大きく、凸の周へ下りる直線のうちでは、点と直径の間にあるものが最小であり、その他のうちでは、最小のものにより近いものが常に遠いものよりも小さく、また、その点から円へ、最小のものの両側において、２つだけ等しい直線が下りるであろう。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。