§3.prop.6ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
如果两个圆彼此相切，则它们不会有相同的圆心。
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον·
因为设两个圆ΑΒΓ、ΓΔΕ在点Γ处彼此相切。
λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
我说，它们不会有相同的圆心。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΖΕΒ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΕ. ἐδείχθη δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ ἴση· καὶ ἡ ΖΕ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
因为如果可能的话，设它是Ζ，连结ΖΓ，并任意引ΖΕΒ。 因为点Ζ是圆ΑΒΓ的圆心，所以ΖΓ等于 ΖΒ。 再次，因为点Ζ是圆ΓΔΕ的圆心，所以ΖΓ等于ΖΕ。 然而ΖΓ也被证明等于ΖΒ；因此ΖΕ也等于ΖΒ，即较小者等于较大者。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων.
因此点Ζ不是圆ΑΒΓ、ΓΔΕ的圆心。
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
由此，如果两个圆彼此相切，则它们不会有相同的圆心；此即所证。
§3.prop.7ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφʼ ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης.
如果从圆的直径上任取一点（该点不是圆心），且从该点向圆引若干条直线，则其中最大的是含有圆心的那条直线，最小的是其余的那条直线；而在其余直线中，较靠近通过圆心的直线的总是大于较遥远的直线；并且，从该点向圆在最小直线的两侧只能引出两条相等的直线。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, κέντρον δὲ τοῦ κύκλου ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον προσπιπτέτωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΗ·
设圆为ΑΒΓΔ，其直径为ΑΔ，在ΑΔ上取任一点Ζ（该点不是圆心），并设圆心为Ε；又从Ζ向圆ΑΒΓΔ引若干条直线ΖΒ、ΖΓ、ΖΗ。
λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ μείζων, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΕΒ, ΕΖ τῆς ΒΖ μείζονές εἰσιν.
我说，ΖΑ最大，ΖΔ最小；在其余直线中，ΖΒ大于ΖΓ， ΖΓ大于ΖΗ。 因为连结ΒΕ、ΓΕ、ΗΕ。 由于在任何三角形中，两边之和大于第三边，所以ΕΒ、ΕΖ大于ΒΖ。
ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ· μείζων ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΒΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν.
而ΑΕ等于ΒΕ；因此ΑΖ大于ΒΖ。 再次，因为ΒΕ等于ΓΕ，且ΖΕ是公共的，所以ΒΕ、ΕΖ两边等于ΓΕ、ΕΖ两边。
ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΕΖ μείζων.
然而角ΒΕΖ也大于角ΓΕΖ。
βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσεως τῆς ΓΖ μείζων ἐστίν.
因此底边ΒΖ大于底边 ΓΖ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν.
由于同样的原因，ΓΖ也大于ΖΗ。
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΗ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΕΔ, αἱ ἄρα ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν.
再次，因为ΗΖ、ΖΕ大于ΕΗ，而ΕΗ等于ΕΔ，所以ΗΖ、ΖΕ大于ΕΔ。
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ λοιπῆς τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν.
减去公共的ΕΖ；因此，余下的ΗΖ大于余下的ΖΔ。
μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.
λέγω, ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου δύο μόνον ἴσαι προσπεσοῦνται πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΖΔ ἐλαχίστης.
由此，ΖΑ最大，ΖΔ最小，且ΖΒ大于ΖΓ，ΖΓ大于ΖΗ。 我说，从点Ζ向圆ΑΒΓΔ在最小直线ΖΔ的两侧也只能引出两条相等的直线。
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση ἐστίν.
因为在直线ΕΖ及其上的点Ε处，作角ΖΕΘ等于角ΗΕΖ，并连结ΖΘ。 因为ΗΕ等于ΕΘ，且ΕΖ是公共的，所以ΗΕ、ΕΖ两边等于ΘΕ、ΕΖ两边；且角ΗΕΖ等于角ΘΕΖ；因此底边ΖΗ等于底边ΖΘ。
λέγω δή, ὅτι τῇ ΖΗ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου.
我说，从点Ζ向圆不会再引出另一条等于ΖΗ的直线。
εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, ἀλλὰ ἡ ΖΘ τῇ ΖΗ, καὶ ἡ ΖΚ ἄρα τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῇ ἀπώτερον ἴση·
因为如果可能的话，设引出ΖΚ。 由于ΖΚ等于ΖΗ，且ΖΘ等于ΖΗ，所以ΖΚ也等于ΖΘ，即较靠近通过圆心的直线等于较遥远的直线。
ὅπερ ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἑτέρα τις προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἴση τῇ ΗΖ· μία ἄρα μόνη.
因此从点Ζ向圆不会再引出另一条等于ΗΖ的直线；因此只有一条。
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφʼ ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
由此，如果从圆的直径上任取一点（该点不是圆心），且从该点向圆引若干条直线，则其中最大的是含有圆心的那条直线，最小的是其余的那条直线；而在其余直线中，较靠近通过圆心的直线的总是大于较遥远的直线；并且，从同一点向圆在最小直线的两侧只能引出两条相等的直线；此即所证。