§3.prop.6ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
두 원이 서로 접한다면, 그것들은 같은 중심을 갖지 않을 것이다.
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον·
왜냐하면 두 원 ΑΒΓ, ΓΔΕ가 점 Γ에서 서로 접한다고 하자.
λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
나는 그것들이 같은 중심을 갖지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΖΕΒ.
ἐπεὶ οὖν τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΓ τῇ ΖΕ. ἐδείχθη δὲ ἡ ΖΓ τῇ ΖΒ ἴση·
왜냐하면 가능하다면 그것을 Ζ라 하고, ΖΓ를 연결하고, ΖΕΒ를 임의로 긋자. 그러면 점 Ζ가 원 ΑΒΓ의 중심이므로, ΖΓ는 ΖΒ와 같다. 다시, 점 Ζ가 원 ΓΔΕ의 중심이므로, ΖΓ는 ΖΕ와 같다. 그런데 ΖΓ는 ΖΒ와도 같다고 증명되었다.
καὶ ἡ ΖΕ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
그러므로 ΖΕ 역시 ΖΒ와 같다. 즉 더 작은 것이 더 큰 것과 같다.
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα τὸ Ζ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ κύκλων.
그러므로 점 Ζ는 원 ΑΒΓ, ΓΔΕ의 중심이 아니다.
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον·
그러므로 두 원이 서로 접한다면, 그것들은 같은 중심을 갖지 않는다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.
§3.prop.7ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφʼ ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης.
원 안의 지름 위에서 원의 중심이 아닌 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 어떤 직선들이 내려진다면, 가장 큰 것은 중심이 있는 쪽의 직선이고, 가장 작은 것은 남은 직선이며, 다른 직선들 중에서는 중심을 지나는 직선에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 항상 더 크다. 또한 그 점으로부터 원을 향해 가장 작은 직선의 양편으로 오직 두 개만 같은 직선이 내려질 것이다.
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ἡ ΑΔ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ζ, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, κέντρον δὲ τοῦ κύκλου ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον προσπιπτέτωσαν εὐθεῖαί τινες αἱ ΖΒ, ΖΓ, ΖΗ·
원을 ΑΒΓΔ라 하고, 그것의 지름을 ΑΔ라 하며, ΑΔ 위에서 원의 중심이 아닌 어떤 점 Ζ가 잡혔다고 하고, 원의 중심을 Ε라 하자. 그리고 Ζ로부터 원 ΑΒΓΔ를 향해 어떤 직선들 ΖΒ, ΖΓ, ΖΗ가 내려진다고 하자.
λέγω, ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ μείζων, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΓΕ, ΗΕ. καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν, αἱ ἄρα ΕΒ, ΕΖ τῆς ΒΖ μείζονές εἰσιν.
나는 ΖΑ가 가장 크고, ΖΔ가 가장 작으며, 다른 직선들 중에서는 ΖΒ가 ΖΓ보다 크고, ΖΓ가 ΖΗ보다 크다고 주장한다. 왜냐하면 ΒΕ, ΓΕ, ΗΕ를 연결하라. 그리고 모든 삼각형에서 두 변은 남은 한 변보다 크므로, ΕΒ, ΕΖ는 ΒΖ보다 크다.
ἴση δὲ ἡ ΑΕ τῇ ΒΕ·
그런데 ΑΕ는 ΒΕ와 같다.
μείζων ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΒΖ. πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΓΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 ΑΖ는 ΒΖ보다 크다. 다시, ΒΕ가 ΓΕ와 같고 ΖΕ는 공통이므로, 두 변 ΒΕ, ΕΖ는 두 변 ΓΕ, ΕΖ와 같다.
ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΕΖ μείζων.
그런데 각 ΒΕΖ는 각 ΓΕΖ보다 크다.
βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσεως τῆς ΓΖ μείζων ἐστίν.
그러므로 밑변 ΒΖ는 밑변 ΓΖ보다 크다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν.
같은 이유로 ΓΖ 역시 ΖΗ보다 크다.
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΗ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ΕΗ τῇ ΕΔ, αἱ ἄρα ΗΖ, ΖΕ τῆς ΕΔ μείζονές εἰσιν.
다시, ΗΖ, ΖΕ가 ΕΗ보다 크고 ΕΗ는 ΕΔ와 같으므로, 그러므로 ΗΖ, ΖΕ는 ΕΔ보다 크다.
κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΕΖ·
공통인 ΕΖ를 빼자.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΖ λοιπῆς τῆς ΖΔ μείζων ἐστίν.
그러면 남은 ΗΖ는 남은 ΖΔ 보다 크다.
μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΖΑ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΖΔ, μείζων δὲ ἡ μὲν ΖΒ τῆς ΖΓ, ἡ δὲ ΖΓ τῆς ΖΗ.
λέγω, ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου δύο μόνον ἴσαι προσπεσοῦνται πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ΖΔ ἐλαχίστης.
그러므로 ΖΑ가 가장 크고 ΖΔ가 가장 작으며, ΖΒ는 ΖΓ보다 크고 ΖΓ는 ΖΗ보다 크다. 나는 또한 점 Ζ로부터 원 ΑΒΓΔ를 향해 가장 작은 ΖΔ의 양편으로 오직 두 개만 같은 직선이 내려질 것이라고 주장한다.
συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ ΕΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΖΕΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΕΘ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΗΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ, ΕΖ ἴσαι εἰσίν·
왜냐하면 직선 ΕΖ와 그 위의 점 Ε에 대하여 각 ΗΕΖ와 같은 각 ΖΕΘ를 만들고, ΖΘ를 연결하라. 그러면 ΗΕ는 ΕΘ와 같고 ΕΖ는 공통이므로, 두 변 ΗΕ, ΕΖ는 두 변 ΘΕ, ΕΖ와 같다.
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ ἴση·
그리고 각 ΗΕΖ는 각 ΘΕΖ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΖΗ βάσει τῇ ΖΘ ἴση ἐστίν.
그러므로 밑변 ΖΗ는 밑변 ΖΘ와 같다.
λέγω δή, ὅτι τῇ ΖΗ ἄλλη ἴση οὐ προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου.
나는 이제 점 Ζ로부터 원을 향해 ΖΗ와 같은 다른 직선은 내려지지 않을 것이라고 주장한다.
εἰ γὰρ δυνατόν, προσπιπτέτω ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΚ τῇ ΖΗ ἴση ἐστίν, ἀλλὰ ἡ ΖΘ τῇ ΖΗ, καὶ ἡ ΖΚ ἄρα τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση, ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῇ ἀπώτερον ἴση·
왜냐하면 가능하다면 ΖΚ가 내려진다고 하자. 그러면 ΖΚ는 ΖΗ와 같고 ΖΘ도 ΖΗ와 같으므로, 그러므로 ΖΚ 역시 ΖΘ와 같다. 즉 중심을 지나는 직선에 더 가까운 것이 더 먼 것과 같다.
ὅπερ ἀδύνατον.
이는 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἑτέρα τις προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ἴση τῇ ΗΖ·
그러므로 점 지로부터 원을 향해 ΗΖ와 같은 다른 직선은 내려지지 않을 것이다.
μία ἄρα μόνη.
그러므로 오직 하나뿐이다.
ἐὰν ἄρα κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες, μεγίστη μὲν ἔσται, ἐφʼ ἧς τὸ κέντρον, ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἐστίν, δύο δὲ μόνον ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον ἐφʼ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης·
그러므로 원 안의 지름 위에서 원의 중심이 아닌 어떤 점이 잡히고, 그 점으로부터 원을 향해 어떤 직선들이 내려진다면, 가장 큰 것은 중심이 있는 쪽의 직선이고, 가장 작은 것은 남은 직선이며, 다른 직선들 중에서는 중심을 지나는 직선에 더 가까운 것이 더 먼 것보다 항상 더 크다. 또한 같은 점으로부터 원을 향해 가장 작은 직선의 양편으로 오직 두 개만 같은 직선이 내려질 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 일이다.