§3.prop.3ἐὰν ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει.
如果圆内一条通过圆心的直线将另一条不通过圆心的直线二等分，则它也垂直于它；如果它垂直于它，则它也将其二等分。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐν αὐτῷ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΓΔ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΒ δίχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ σημεῖον·
设ABC为一圆，在其中，通过圆心的直线GD在点Z处将一条不通过圆心的直线AB二等分。
λέγω, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει.
我说，它也垂直于它。
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΑ, ΕΒ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΖΕ, δύο δυσὶν ἴσαι.
因为取圆ABC的圆心，设为 E，连结EA、EB。 因为AZ等于ZB，且ZE是公共的，所以两边等于两边。
καὶ βάσις ἡ ΕΑ βάσει τῇ ΕΒ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν.
且底边EA等于底边EB；因此角AZE等于角BZE。
ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν·
当一条直线立在另一条直线上，使相邻的角彼此相等时，这些相等角之每一个都是直角。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΖΕ, ΒΖΕ ὀρθή ἐστιν.
因此角AZE、BZE之每一个都是直角。
ἡ ΓΔ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν ΑΒ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει.
因此，通过圆心的GD在将不通过圆心的AB二等分的同时，也垂直于它。
ἀλλὰ δὴ ἡ ΓΔ τὴν ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τεμνέτω·
然而，现在设GD垂直于AB。
λέγω, ὅτι καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει, τουτέστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΕΒ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΖ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση·
我说，它也将其二等分，也就是说，AZ等于ZB。 因为在作同样的准备下，由于EA等于EB，角 EAZ也等于角EBZ。 且直角AZE也等于直角BZE。
δύο ἄρα τρίγωνά ἐστι τὰ ΕΑΖ, ΕΖΒ τὰς δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην κοινὴν αὐτῶν τὴν ΕΖ ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν·
因此有两个三角形EAZ、EZB，它们有两个角分别等于两个角，且有一边等于一边，即它们公共的边EZ，它对着相等角之一。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει·
因此它们也必有其余的边分别等于其余的边。
ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ.
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου δίχα τέμνῃ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
因此AZ等于ZB。
καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ, καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
由此，如果圆内一条通过圆心的直线将另一条不通过圆心的直线二等分，则它也垂直于它；如果它垂直于它，则它也将其二等分；此即所证。
§3.prop.4ἐὰν ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
如果圆内有两条直线彼此相交且不通过圆心，则它们不会彼此二等分。
ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι·
设ABCD为一圆，在其中，两条不通过圆心的直线AC、BD 在点E处彼此相交。
λέγω, ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
我说，它们不会彼此二等分。
εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτωσαν ἀλλήλας δίχα ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, τὴν δὲ ΒΕ τῇ ΕΔ·
因为如果可能的话，设它们彼此二等分，从而AE等于EC，BE等于ED。
καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ.
ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
并取圆ABCD的圆心，设为Z，连结ZE。 因为一条通过圆心的直线ZE将一条不通过圆心的直线AC二等分，所以它也垂直于它。
ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΑ·
因此角ZEA是直角。
πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΖΕ εὐθεῖάν τινα τὴν ΒΔ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει·
再次，因为直线ZE将直线BD二等分，所以它也垂直于它。
ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ ὀρθή·
因此角ZEB是直角。 然而角ZEA也被证明是直角。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕΑ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι·
因此角ZEA等于角ZEB，即较小者等于较大者。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα αἱ ΑΓ, ΒΔ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
因此AC、BD不会彼此二等分。
ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
由此，如果圆内有两条直线彼此相交且不通过圆心，则它们不会彼此二等分；此即所证。
§3.prop.5ἐὰν δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
如果两个圆彼此相交，则它们不会有相同的圆心。
δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔΗ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Β, Γ σημεῖα.
因为设两个圆ABC、CDH在点B、G处彼此相交。
λέγω, ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
我说，它们不会有相同的圆心。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖΗ, ὡς ἔτυχεν.
因为如果可能的话，设它是E，连结EG，并任意引EZH。
καὶ ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΖ. πάλιν, ἐπεὶ τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΗ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΕΗ·
因为点E是圆ABC的圆心，所以EG等于EZ。 再次，因为点E是圆CDH的圆心，所以EG等于EH。
ἐδείχθη δὲ ἡ ΕΓ καὶ τῇ ΕΖ ἴση· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι·
然而EG也被证明等于EZ；因此EZ也等于EH，即较小者等于较大者。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
这是不可能的。
οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ΑΒΓ, ΓΔΗ κύκλων.
因此点E不是圆ABC、CDH的圆心。
ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἔστιν αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
由此，如果两个圆彼此相交，则它们不会有相同的圆心；此即所证。